原根
1 原根
1.1 一些说明
- 令 \(p\in Prime\) 表示 \(p\) 是一个素数。
1.2 一些定义
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由欧拉定理可以知道，对于 \(a\in Z,m\in Z^+,(a,m)=1\)，则：
\[a^{\phi(m)}\equiv 1\bmod m \]因此，对于假设（即在 \(a\) 和 \(m\) 互素的前提下），满足同余式 \(a^n\equiv 1\bmod m\) 的最小正整数 \(n\) 存在，这个数称为 \(a\) 模 \(m\) 的阶，记作 \(\delta_m(a)\)。
-
若 \(m\in Z^+,a\in Z,(a,m)=1,\delta_m(a)=\phi(m)\)，则称 \(a\) 为模 \(m\) 的原根。
1.3 一些性质
- 若 \(a^n\equiv 1\bmod m\)，则 \(\delta_m(a)|n\)。
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证明：设 \(n=\delta_m(a)\times q+r,0\leq r<\delta_m(a)\)，若 \(r>0\) ，则
\[a^r\equiv a^r(a^{\delta_m(a)})^q\equiv a^n\equiv 1\bmod m \]与阶的定义矛盾。所以 \(r=0\) 。
-
证毕。
- 设 \(m\in Z^+,a,b\in Z,\gcd(a,m)=\gcd(b,m)=1\)，则 \(\delta_m(ab)=\delta_m(a)\delta_m(b)\) 的充分必要条件是 \(\gcd(\delta_m(a),\delta_m(b))=1\)
-
必要性：\(a^{\delta_m(a)}\equiv 1\bmod m,b^{\delta_m(b)}\equiv 1\bmod m \Rightarrow (ab)^{lcm(\delta_m(a),\delta_m(b))}\equiv 1\bmod m\)。
性质 \(1\) 可以得到：
\[\delta_m(ab)|lcm(\delta_m(a),\delta_m(b))\Rightarrow \delta_m(a)\delta_m(b)|lcm(\delta_m(a),\delta_m(b))\Rightarrow \gcd(\delta_m(a),\delta_m(b))=1 \] -
充分性：
\[(ab)^{\delta_m(ab)}\equiv 1\bmod m\Rightarrow 1\equiv (ab)^{\delta_m(ab)\delta_m(b)}\equiv a^{\delta_m(ab)}\bmod m\Rightarrow\delta_m(a)|\delta_m(ab) \]同理，我们可以得到：
\[\delta_m(b)|\delta_m(ab) \]所以：
\[\delta_m(a)\delta_m(b)|\delta_m(ab) \]因为：
\[(ab)^{\delta_m(a)\delta_m(b)}\equiv (a^{\delta_m(a)})^{\delta_m(b)}\times (b^{\delta_m(b)})^{\delta_m(a)}\equiv 1\bmod m\Rightarrow \delta_m(ab)|\delta_m(a)\delta_m(b) \]所以：
\[\delta_m(ab)=\delta_m(a)\delta_m(b) \] -
证毕。
- 设 \(k\in N,m\in N^+,a\in Z,\gcd(a,m)=1\)，则：\[\delta_m(a^k)=\dfrac{\delta_m(a)}{\gcd(\delta_m(a),k)} \]
-
证明：
-
注意到：
\[a^{k\delta_m(a^k)}=(a^k)^{\delta_m(a^k)}\equiv 1\bmod m\Rightarrow \delta_m(a)|k\delta_m(a^k)\Rightarrow \dfrac{\delta_m(a)}{\gcd(\delta_m(a),k)}|\delta_m(a^k) \]另一方面，由 \(a^{\delta_m(a)}\equiv 1\bmod m\) ，可以知道
\[(a^k)^{\frac{\delta_m(a)}{\gcd(\delta_m(a),k)}}=(a^{\delta_m(a)})^{\frac{k}{\gcd(\delta_m(a),k)}}\equiv 1\bmod m \]所以：
\[\delta_m(a^k)|\dfrac{\delta_m(a)}{\gcd(\delta_m(a),k)} \]所以有：
\[\delta_m(a^k)=\dfrac{\delta_m(a)}{\gcd(\delta_m(a),k)} \] -
证毕。
1.4一些定理
-
（欧拉定理）\(m\in Z^+,\forall a\in Z^+,(a,m)=1,s.t.a^{\phi(m)}\equiv1\bmod m\)
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（费马小定理）\(p\in Prime\Rightarrow \forall a\in Z^+,(a,p)=1,s.t.a^{p-1}\equiv 1\bmod p\)
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（拉格朗日定理）设 \(p\) 为素数，对于模 \(p\) 意义下的整系数多项式：
\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0(p\nmid a_n) \]的同余方程 \(f(x)\equiv 0\bmod p\) 在模 \(p\) 意义下至多有 \(n\) 个不同解。
-
证明：
-
对 \(n\) 使用数学归纳法。当 \(n=0\) 时，因为 \(p\nmid a_n\) 定理显然成立。
若定理对于 \(\deg f<n\) 都成立，假设存在一个 \(f,\deg f=n\)，且 \(f\) 至少有 \(n+1\) 个不同的解：\(x_0,x_1,x_2,...x_n\)
设 \(f(x)-f(x_0)=(x-x_0)g(x)\)，则 \(g(x)\) 在模 \(p\) 意义下是一个至多 \(n-1\) 次的多项式。注意到：
\[\forall i,1\le i\le n,s.t.(x_i-x_0)g(x_i)\equiv f(x_i)-f(x_0)\equiv 0 \bmod p \]而 \(x_i\not\equiv x_0\bmod p\)，所以 \(g(x_i)\equiv 0\bmod p\)，所以 \(g(x)\equiv 0\bmod p\) 有至少 \(n\) 个根，与假设矛盾。
-
证毕。
- 设 \(a\) 与 \(b\) 是与 \(p\) 互素的两个整数，则存在 \(c\in Z\) 使得 \(\delta_p(c)=lcm(\delta_p(a),\delta_p(b))\)
- 证明：
- 设 \(r=\delta_p(a),t=\delta_p(b),r=\prod\limits_{j=1}^{s}p_j^{\alpha_j},t=\prod\limits_{j=1}^{s}p_j^{\beta_j},\max(\alpha_j,\beta_j)>0\)
注：这里可能会有读者疑惑于为什么 \(r\) 和 \(s\) 的质因数种类是一样的，实际上并不是这样，我们可以通过给另一个补 \(0\) 来完成上面的式子的补全。
令 \(l=\prod\limits_{j=1}^sp_j^{\alpha_j}\times[\alpha_j\le\beta_j],m=\prod\limits_{j=1}^sp_j^{\beta_j}\times[\alpha_j>\beta_j]\)，记 \(r=lx,t=my\)，则我们有：\(\gcd(x,y)=1,lcm(r,t)=xy\)。
由性质 \(3\) ，我们得到 \(\delta_p(a^l)=x,\delta_p(b^m)=y\)，则由性质 \(2\)，\(\delta_p(a^lb^m)=xy=lcm(\delta_p(a),\delta_m(b))\)，即取 \(c=a^lb^m\) 即可。
-
存在模 \(p\) 的原根 \(g\) ，使得 \(g^{p-1}\not\equiv 1\bmod p^2\)
易知，\(g+p\) 也是原根，设 \(p\) 满足条件，否则那么定理成立。
我们有 \((g+p)^{p-1}\equiv C_{p-1}^0g^{p-1}+C_{p-1}^1pg^{p-2}\equiv1-pg^{p-2}\not\equiv 1\bmod p^2\)
-
对于奇素数 \(p\) ，\(p\) 有原根。
-
证明：
-
对 \(1\) 到 \((p-1)\) 依次两两使用定理 \(4\) ，可以知道存在 \(g\in Z\) 有：
\[\delta_p(g)=lcm(\delta_p(1),\delta_p(2),...,\delta_p(p-1)) \]这说明 \(\delta_p(j)|\delta_p(g),j=1,2,...p-1\)，所以 \(j=1,2,...p-1\) 都是同余方程：
\[x^{\delta_p(g)}\equiv 1\bmod p \]的解。由拉格朗日定理，可以知道 \(\delta_p(g)\geq p-1\)，由费马小定理，易知 \(\delta_p(g)\le p-1\) 所以 \(\delta_p(g)=p-1=\phi(p)\)
所以 \(g\) 为 \(p\) 的原根。
-
设 \(g\) 满足定理 \(5\) ，那么对任意的 \(\beta\in \N^*\) 都可以设：\(g^{\phi(p^{\beta})}\equiv 1+p^\beta\times k_{\beta}\bmod p^{\beta+1}\)，其中 \(p\not|k_\beta\)
证明：\(\beta=1\) 是平凡的。设上式对 \(\beta\) 成立，则
\[g^{\phi(p^{\beta+1})}=(g^{\phi(p^\beta)})^p=(1+p^\beta\times k_\beta)^p\equiv1+p^{\beta+1}\times k_\beta\bmod p^{\beta+2} \] -
对于奇素数 \(p,\alpha \in \N^*,p^{\alpha}\) 有原根。
证明：设 \(g\) 是一个满足定理 \(5\) 的一个模 \(p\) 的原根，记 \(\delta=\delta_{p^\alpha}(g)\) ，那么由欧拉定理有：
\[\phi(p^\alpha)=p^{\alpha-1}(p-1)\\ \]由性质 \(1\) 可以得到：
\[\delta|p^{\alpha-1}(p-1) \]而 \(g^\delta\equiv 1\bmod p^\alpha\Rightarrow g^\delta\equiv 1\bmod p\) ，所以 \(g^\delta\equiv 1\bmod p,g^{p-1}\equiv 1\bmod p\) ，由性质 \(1\) 可以得到 \((p-1)|\delta\) ，所以有 \(\delta=p^{\beta-1}(p-1)=\phi(p^\beta),1\le \beta\le \alpha\)。
由定理 \(7\) 我们知道：
\[g^{\phi(p^\beta)}\not\equiv 1\bmod p^{\beta+1}\Rightarrow g^\beta\not\equiv 1\bmod p^{\beta+1} \]又因为 $p^\beta\equiv 1\bmod p^\alpha \Rightarrow \beta\ge \alpha $，所以 \(\beta=\alpha\)。所以 \(g\) 是 \(p^\alpha\) 的原根。
-
对于奇素数 \(p,\alpha \in \N^*,2p^{\alpha}\) 有原根。
证明：设 \(g\) 是模 \(p^\alpha\) 的原根，那么 \(g+p^\alpha\) 也是模 \(p^\alpha\) 的原根。设 \(G\) 是这两者的奇数，则根据原根的定义，由 \(\gcd(G,2p^\alpha)=1\) 。由欧拉定理和性质 \(1\) ，设 \(\delta=\delta_{2p^\alpha}(G)\)，则有 \(\delta|\phi(2p^\alpha)\)。
而 \(G^{\delta}\equiv 1\bmod 2p^\alpha\) ，故 \(G^{\delta}\equiv 1\bmod p^\alpha\) 。利用 \(G\) 为模 \(p^\alpha\) 的原根可以知道 \(\phi(p^\alpha)|\delta\)，又因为 \(\phi(p^\alpha)=\phi(2p^\alpha)\)，所以可以知道 \(G\) 为模 \(2p^\alpha\) 的原根。
-
对于奇数 \(a\) ，总存在 \(m=2^\alpha,\alpha \ge 3,s.t.a^{2^{\alpha-2}}\equiv 1\bmod m\)
设 \(a=2k+1\)，令 \(\alpha =3\) 则：
\[a^{2}=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1\bmod 8 \]通过对 \(k\) 的奇偶性讨论可以知道当 \(\alpha=3\) 时定理成立。
设定理对 \(\alpha\) 成立，那么：
\[a^{2^{\alpha-2}}=k2^\alpha+1\\ a^{2^{\alpha-1}}=(k2^\alpha+1)^2=k^22^{2\alpha}+k2^{\alpha+1}+1\equiv 1\bmod 2^{\alpha+1} \]归纳可知，定理成立。
-
对于所有 \(m\not\in\{1,2,4,p^\alpha,2p^\alpha\},(\alpha\in\N^*)\)，对于任意 \(a\in \Z,\gcd(a,m)=1\) ，都有 \(\delta_m(a)<\phi(m)\) ，即模 \(m\) 的原根不存在。
如果 \(m\) 是 \(2\) 的幂，根据定理 \(10\) 可以知道原根不存在。
否则，令 \(m=rt,(r,t)=1,2<r<t\) ，则 \(\phi(m)=\phi(r)\phi(t)\) 因为当 \(n>2\) 时 \(\phi(n)\) 为偶数，所以有 \(a^{\frac 12 \phi(r)\phi(t)}=(a^{\frac 14\phi(r)\phi(t)})^2,a^{\phi(r)\phi(t)}=(a^{\frac 12\phi(r)\phi(t)})^2\equiv 1\bmod m\)
经过讨论后不难发现，\(a^{\frac 12\phi(r)\phi(t)}\equiv 1\bmod m\)
所以 \(\delta_m(a)\le \frac 12\phi(m)\)
所以定理得证。
1.5 复杂度分析与代码实现
设 \(g\) 为模 \(m\) 得原根，根据性质 \(3\) ，如果 \(\gcd(\phi(m),k)=1\) ，那么 \(g^k\) 也是原根。
所以原根的个数一共有 \(\phi(\phi(m))\) 个。
这个密度很大，所以我们直接枚举原根就可以。
在实际实现中，为了卡常，我们需要在预处理欧拉函数的时候预处理一下每一个数的最小素因子。也可以通过递推式去判断两个数是否互素。
#include<bits/stdc++.h>
#define dd double
#define ld long double
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define N 1000100
#define M number
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
template<typename T> inline void read(T &x) {
x=0; int f=1;
char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
x*=f;
}
template<typename T> inline void write(T x) {
if(x < 0) x=-x,putchar('-');
if(x > 9) write(x / 10);
putchar(x%10+'0');
}
template<typename T> inline void writeln(T x) {
write(x);
puts("");
}
inline int Max(int a,int b){
return a>b?a:b;
}
inline int gcd(int a,int b){
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int phi_[N],prime[N],tail,min_p[N];
bool not_prime[N],is_yg[N],if_husu[N];
inline int ksm(int a,int b,int mod){
int res=1;
while(b){
if(b&1) (res*=a)%=mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return res;
}
inline void get_fac(int x,int *fac,int &tail){
tail=0;
while(x>1){
int k=min_p[x];fac[++tail]=k;
while(x%k==0) x/=k;
}
}
inline void get_phi(int n){
phi_[1]=1;min_p[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!not_prime[i]) prime[++tail]=i,phi_[i]=i-1,min_p[i]=i;
for(int j=1;j<=tail&&i*prime[j]<=n;j++){
not_prime[i*prime[j]]=1;
min_p[i*prime[j]]=prime[j];
if(i%prime[j]==0){
phi_[i*prime[j]]=phi_[i]*prime[j];
break;
}
else phi_[i*prime[j]]=phi_[i]*phi_[prime[j]];
}
}
}
int fac_phi[N],tail_fac;
inline bool check(int m,int i){
if(m==2&&i==1) return 1;
if(gcd(i,m)!=1) return 0;
int phi=phi_[m];
for(int a=1;a<=tail_fac;a++){
if(ksm(i,fac_phi[a],m)==1) return false;
}
return true;
}
inline bool if_have_yg(int x){
if(x==2||x==4) return 1;
if(x%2==0) x/=2;
if(x%2==0) return 0;
if(!not_prime[x]) return 1;
int k=min_p[x];
while(x%k==0) x/=k;
return x==1;
}
inline int get_min_yg(int m){
int phi=phi_[m];
fill(if_husu+1,if_husu+phi+1,1);
get_fac(phi,fac_phi,tail_fac);
for(int i=1;i<=tail_fac;i++) if_husu[fac_phi[i]]=0;
for(int i=1;i<=tail_fac;i++) fac_phi[i]=phi/fac_phi[i];
for(int i=1;i<=phi;i++) if_husu[i]=if_husu[i/min_p[i]]&if_husu[min_p[i]];
if(!if_have_yg(m)) return -1;
for(int i=1;;i++) if(check(m,i)) return i;
}
int ans[N],tail_ans;
inline int solve(int n,int d){
tail_ans=0;
int yg=get_min_yg(n);
int c=phi_[phi_[n]];
if(yg==-1) c=0;
writeln(c);
if(c/d==0) return puts(""),0;
for(int i=1;tail_ans<c;i++){
if(if_husu[i]){//
int k=ksm(yg,i,n);
is_yg[k]=1;++tail_ans;
}
}
tail_ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) if(is_yg[i]){
is_yg[i]=0;ans[++tail_ans]=i;
}
for(int i=d;i<=c/d*d;i+=d) write(ans[i]),putchar(' ');
puts("");
}
int t;
signed main(){
get_phi(1000010);
read(t);
for(int i=1;i<=t;i++){
int n,d;
read(n);read(d);
solve(n,d);
}
return 0;
}
