高等数学学习笔记 第八章5到6节

高等数学学习笔记2 第八章5到6节

1 曲面及其方程

• 球面：\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2\) 表示在空间直角坐标系上，以 \(x_0,y_0,z_0\) 为圆心，以 \(R\) 为半径的球形。

1.1 旋转曲面

球面也可以作为旋转曲面的一种。

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。

对于在 \(xOy\) 坐标轴上的一条曲线 \(f(x,y)=0\) ，如果绕 \(x\) 轴旋转，就让 \(\pm \sqrt{y^2+z^2}\) 代替 \(y\) 。形成旋转曲面。

所以规律就是绕谁旋转不改谁，另外两个平方和，开根替代原来的变量。

1.1.2 例子

1.1.2.1

双曲线 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\) 。

• 绕 \(z\) 轴旋转一周，变为 \(\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\) 。称为旋转单叶双曲面。

• 绕 \(x\) 轴旋转一周，变为 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2}=1\)

1.2 柱面

一般的，直线 \(L\) 沿定曲线 \(C\) 平行移动形成的轨迹叫做柱面，定曲线 \(C\) 叫做柱面的准线，动直线 \(L\) 叫做柱面的母线。

一般的，只含 \(x,y\) 而缺 \(z\) 的方程 \(f(x,y)=0\) 在空间直角坐标系中表示母线平行于 \(z\) 轴。

1.3 二次曲面

这是一个及其广的概念。我们把三元二次方程 \(f(x,y,z)=0\) 表示的曲面称为二次曲面。平面称为一次曲面。二次曲面有 \(9\) 种。

1.3.1 椭圆锥面

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2\)

我们可以通过研究截痕来研究其形状，令 \(z=t\) ，式子变成 \(\frac{x^2}{(at)^2}+\frac{y^2}{(bt)^2}=1\) ，发现这是一个椭圆，随着 \(z\) 的变化，这个椭圆长短轴比例不变。这种方法叫做截痕法。

我们也可以用伸缩变形来得到其形状。

对于一个圆 \(x^2+y^2=1\) 来说，如果让其沿 \(y\) 轴方向伸缩，只需要令 \(y_2=ay\) 即可，这样把 \(y_2\) 代入得到 \((x^2+\frac1ay_2^2)=1\) 就把这个圆沿 \(y\) 轴伸缩了。

同理，我我们把圆锥面 \((\frac{x^2+y^2}{a^2}=z^2)\) 沿 \(y\) 轴伸缩 \(\frac{b}{a}\) 倍，就能得到椭圆锥面。这里指让 \(y_2=\frac b ay\)

1.3.2 椭圆面

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)

实质上是把椭圆 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1\) 绕 \(z\) 轴旋转，称为旋转椭球面，然后沿 \(y\) 轴进行伸缩 \(\frac b a\) 倍。

1.3.3 单叶双曲面

\(\frac {x^2} {a^2} +\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)

把旋转单叶双曲面沿 \(y\) 轴伸缩 \(\frac b a\) 倍。

1.3.4 双叶双曲面

\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)

把旋转双叶双曲面沿 \(y\) 轴伸缩 \(\frac b a\) 倍。

1.3.5 椭圆抛物线

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z\)

把抛物线 \(\frac{x^2}{a^2}=z\) 绕 \(z\) 轴旋转后所得叫做旋转抛物面，沿 \(y\) 轴伸缩 \(\frac b a\) 得到椭圆抛物面。

1.3.6 双曲抛物面

\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z\)

双曲抛物面称为马鞍面，用 \(x=t\) 去截此曲面，得到的截痕为 \(x=t\) 上的抛物线：

\[-\frac{y^2}{b^2}=z-\frac{t^2}{a^2} \]

随着 \(t\) 的变化，这个抛物线开口大小，方向不变，只上下平移其位置。

1.3.7 1.3.8 1.3.9

三种柱面，椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面。

分别为：

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\ x^2=ay \]

2 曲线及其方程

方程组：

\[\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases} \]

称为空间曲线的一般方程。

2.1 曲线的参数方程

方程组：

\[\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases} \]

称作空间曲线的参数方程。

2.2 曲面的参数方程

空间曲线

\[\begin{cases} x=\phi(t)\\ y=\mu(t)\\ z=\omega(t) \end{cases} \]

绕 \(z\) 轴旋转，得到空间的一个圆，半径应该是到 \(z\) 轴的距离，所以我们可以得到旋转曲面的方程为：

\[\begin{cases} x=\sqrt{[\phi(t)]^2+[\mu(t)]^2} \cos \theta\\ y=\sqrt{[\phi(t)]^2+[\mu(t)]^2} \sin \theta\\ z=\omega(t) \end{cases} \]

注意空间曲面的参数方程一般是含两个参数的方程。

2.3 空间曲线在坐标面上的投影

对于空间曲线的一般方程：

\[\begin{cases} \phi(x,y,z)=0\\ \mu(x,y,z)=0 \end{cases} \]

消去 \(z\) 后得到：

\[H(x,y)=0 \]

这个方程所代表的的曲线包含空间曲线在 \(xOy\) 面上的投影。