省选集训day5
省选培训 day5
考试题
T1
有 \(n\) 个宝石，每一个宝石有一个颜色和一个价值，有两个操作：
1 x c v表示把 \(x\) 宝石的颜色改成 \(c\)，价值改为 \(v\)。2 s k表示从 \(s\) 位置开始取宝⽯，每次可以取或跳过这个宝⽯，然后继续考虑下⼀个或者结束。要求跳过的宝⽯不能超过 \(k\) 个，并且取的宝⽯颜⾊两两不同，并且价值最⼤。
考虑贪心，一定是向后找，直到有 \(k+1\) 个相同的。有一个 \(n^2\)。所以我们记一下每一个元素的前驱，每一次在线段树上二分就可以。
zyc 大佬是这样做的，我们维护一个点的前驱和后继，可以利用 multiset 和二分来维护和修改，对于 \(k>0\) 的情况，我们直接维护前驱最大值，然后找前驱在前 \(ql\) 中的，循环 \(k\) 次即可。不要忘了 multiset！！！
T2
一道数据结构和数学题。我们在字符串上建立 ac 自动机，然后发现题目转化成了从根节点走到任意一个叶子结点的期望步数，这个可以用主元法和高斯消元解决。也可以用生成函数看这个问题。
T3
我们可以压位，这样操作整个序列时间复杂度下降，同时我们的操作只取决于我们的最后一位，所以我们可以在最后一位上操作，然后把多个操作合并成一个操作，由此可以拿到满分。
杂题选讲
1
不是很明白。这里放上ppt。
实际上，根据 \(p\) 为 \(q\) 的二次剩余，我们可以得到一些关于 \(q\bmod p\) 的信息。我们可以用类似于 N-smooth 的方法，去随机一下。
2
给一堆石子，规则和合并石子相同。我们钦定一堆石子和其它石子合并，请输出我们分别枚举所有石子，让他首先合并的最小费用。
我们把这个东西抽象成一棵树，那么这就成了一个经典模型，当儿子的平均值小时要向上合并。对于这个问题，我们可以把他看成两条链来处理，对两条链分别维护一个栈，分别插入与删除，插入好插入，对于删除，我们可以把它看做反向插入，即离线来处理。
3
求：
其中 \(n\le10^{18},k\le30\)。
令 \(L=lcm(1,2,...k+1)\)，一定是一个多项式，并且可以写成一个二项式系数的形式。同时，每一个素数对 \(c\) 的贡献是独立的。所以我们可用 meet in the middle+crt 解决。
4 无穷图最大流问题
根据对偶性证明：我们可以这么连边：原图中从 \(u\) 到 \(v\) 连一条容量为 \(c\) 的边，在新图中从 \(u\) 到 \(v\) 连一条容量为 \(c\) ，费用为 \(1\) 的边。跑最小费用最大流即可。
5 Link Cut Digraph
没听懂。
6 Collections In Containers
没听懂
7 Mystery Square
我们确定前面一半和后面一半都可以确定这个数，直接开根或平方即可。一半最多是 \(2^{20}\) 的枚举度，这个题就做完了。
8 Presents
这个题应该就是我们把所有数写出来，然后随机一个，然后我们就可以去掉那些平均值是该位置的数，然后每一次我们都把值域分成一半，于是这个题就做完了。
9
你有n个1到10^18之间的随机数a1,a2,...,an
你把这些数打乱，然后+k%m之后得到了b1,b2,...,bn
n>=1e5, m<=1e10
没听懂。
10
我们可以利用 这三条红边和中间的数来推出这两条蓝边到底是否存在。所以其实那个权值是骗人的，只有唯一的方案。
由此，我们得出答案。
小结
有一些题当时听懂了，但整理的时候就忘了，有时候庆幸自己已经把音频录了下来，这说明我懂得还不透彻，或者理解能力不强。需要进一步加强训练。
目前先简单把思路写一下，以补前置知识为主。
