省选培训day4
省选集训day4
考试
T1
有一些袋鼠，第 \(i\) 只体积为 \(a_i\) ，袋子体积为 \(b_i\) ，并且有 \(b_i<a_i\)，如果 \(a_i<b_j\) 那么可以把 \(i\) 放到 \(j\) 的袋子里面。我们一直放到不能放为止。每个袋鼠能且只能放一个袋鼠在他的袋子里，并且能且只能被放到一个袋鼠的袋子。问有多少不同的结果，两个结果不同当且仅当没有被放在袋子里的袋鼠不同。
我们把 \(a_i\) 弄成黑点，\(b_i\) 为白点，把所有的点放到数轴上，我们发现把 \(i\) 放在 \(j\) 的袋子里就是从 \(b_j\) 向在他前面的一个白点 \(a_i\) 连一条边。所谓的放到不能放为止，就是指的是不存在一个黑点，在其右边有一个没有连边的白点。
于是我们可以设计一个 \(dp\) ，有 \(n^3\) ，也有大佬设计出了 \(n^2\) 而我只打出来一个 \(n^n\) 的暴力
我们设 \(f_{i,j,0/1}\) 表示考虑了前 \(i\) 个点，其中有 \(j\) 个没有匹配的黑点，黑点是不是被强制匹配。转移即可。
这里说明一下，比如说当前状态是一个白点，我们向前枚举一个是 \(1\) 的黑点转移。
T2
题目是给多组数据，每次给出 \(n,m\) ，询问在定义域为 \([0,n]\)，值域在 \([0,m]\) 时最多的整点。
我们可以把上面的整点和整点之间连一个向量。需要满足的是：\(\sum\limits_{i=1}^{k}x_i=n,\sum\limits_{i=1}^ky_i=m\)，并且 \(\dfrac{y_i}{x_i}\) 两两不同，\(y_i,x_i\in N^*\)，并且满足斜率是单调递增的。
上面等价于在所有的向量中选 \(k\) 个，满足 \(\sum x_i\le n,\sum y_i\le m\) ，并且 \(\gcd(x_i,y_i)=1\)。
如果直接暴力用背包做，物品有 \(nm\) 个，\(x\) 轴限制 \(O(n)\)，\(y\) 轴限制 \(O(m)\) ， \(n,m\) 同阶所以复杂度 \(O(n^4)\)
观察到 \(f(n,m)\) 是在 \(O(n^{\frac5 3})\) 的数量级，我们可以把时间复杂度降到 \(O(n^{\frac{11}{3}})\)
在选择变量时可以加入一个贪心策略而不失最优性：选一个向量，必须先选所有 \(x,y\) 同时小于等于其它向量，这些以来，能选的向量就非常少，这些向量的和必须不超过 \((n,n)\)，加入这一剪枝后，可选的向量变得非常少，在 \(O(n^{\frac{2}{3}})\)。证明略。这样做背包即可。
T3
不会，也没几个人听懂。就是笛卡尔树和一些非常神奇的结论。估计静态六元环都没人会做吧
然后还有一些非常神奇的结论，特殊设计的树链剖分。
杂题选讲
1
给一个素数p和原根g，求sum (g^k mod p, k=0..n)
不会
2
给定一个质数 \(p\) ，有 \(q\) 个询问，对于每一个询问，有一个 \(a\) ，需要我们找到 \(k\) 个数 \(x_1,x_2,...x_k\)，满足：\(\prod\limits_{i=1}^kx_i\equiv a\bmod p\)，并且 \(x_i\le2500\)。
这个题需要用到离散对数。
我们设 \(g\) 为 \(p\) 原根，不妨用 \(a\) 乘上一些小质数的逆元，得到 \(x_1,x_2...x_{k-1}\) ，并构造 \(x_k\) ，我们随便来一个参数 \(n\) ，不妨设 $g^{x_1}\equiv 2^{a_1}\times...\bmod p $，则 \(x_1\equiv ind(2)\times...\)，由此多构造几个 \(g\) ，可以得到一个方程组。由此得解。
这个题听的比较模糊。
3
给定一个素数 \(p\) ，记 \(f(i)(2\le i\le p-1)\) 表示 \(i\) 关于 \(p\) ，也就是 \(i\times f(i)\equiv 1\bmod p\) ，并且要求 \(1\le f(i)\le p-1\)，求出所有的 \(i\) 满足 \(f(i)=\min\limits_{k=2}^if(k)\)
观察得到 \(i\times f(i)\) 不会太大。所以我们只要枚举 \(k\) ，然后分解 \(kp+1\)，注意我们可以用不等式：\((y-1)f(x)\le kp+1\)，来判定当前的 \(k\) 是否足够。
至于不等式为什么成立，证明不清楚。
4
给你一个 \(nm\) 的网格，每一格有一个数字 \(a_{i,j}\)，每一格还有一个权值 \(b_{i,j}\)，我们可以用几条封闭的曲线围住一些数字，\(a_{i,j}\) 表示要求在这个格子上的拐点个数，在封闭曲线内的格子的 \(b_{i,j}\) 之和就是我们所得的权值，要求在满足条件的情况下全职最小。其中 \(2|nm\)
我们把所有不在封闭曲线中的格子标 \(0\) ，其余标 \(1\) ，格子最外围都标 \(0\) ，然后我们意外的发现，如果一个顶点是拐点的话，左上左下右上右下的格子要不是三个 \(0\) 一个 \(1\) 要不是三个 \(1\) 一个 \(0\) 。相当于周围 \(4\) 个格子异或等于 \(1\)，不难发现如果只考虑奇偶性，一个格子的奇偶性是它所在 \(3\times 3\) 格子对角格子的异或值的奇偶性。由此可以得到，如果 \(n,m\) ，都是偶数，那么这个值是唯一确定的。如果有一个是奇数，我们可以通过 \(dp\) 来解决这个问题。
5 Bitset Master
不会
