P1879

P1879

题目

这道题写博客主要是为了整理一下枚举子集的思想以及复杂度分析。

首先这道题因为 \(n,m\) 很小，所以可以直接 \(O(nm2^n+n2^{2m})\)，代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#define dd double
#define ld long double
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define N 70000
#define M 14
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e8;

inline int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}

int n,m,f[M][N],ans;
bool a[M][M],vis[M][N];

inline void dfs(int i_,int t_,int pos,int s){
    if(pos==m+1){
        if(vis[i_-1][s]) return;
        f[i_][t_]+=f[i_-1][s];
        f[i_][t_]%=mod;
        return;
    }
    if(((t_>>(pos-1))&1)==0){
        dfs(i_,t_,pos+1,s|(1<<(pos-1)));
        dfs(i_,t_,pos+1,s);
    }
    else dfs(i_,t_,pos+1,s);
}

int main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            a[i][j]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=(1<<m)-1;j++)
            for(int k=1;k<=m;k++){
                if(!a[i][k]&&(j>>(k-1))&1) vis[i][j]=1;
                if(((j>>(k-1))&1)&&((j>>k)&1)) vis[i][j]=1;
            }
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int t=0;t<=(1<<m)-1;t++){
            dfs(i,t,1,0);
        }
    }
    for(int s=0;s<=(1<<m)-1;s++){
        if(!vis[n][s]) ans+=f[n][s],ans%=mod;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

我们考虑 \(n,m\) 大一点， \(15\) 我们怎么办？

我们考虑枚举子集。

对于这个题目，设当前需要更新的状态为 \(f_{i,t}\) ，我们所需要枚举的子集就是 \(t\) 的补集的子集。

我们对这个过程进行复杂度分析，不妨引入一下情景：

• 我们现在有 \(n\) 个水果，我们从里面选若干个，这个过程与我们枚举 \(t\) 一一对应。
• 我们发现选出来的这 \(|t|\) 水果中选出 \(k\) 个吃掉，这个过程与我们枚举子集 \(s\) 是一样的。

我们要枚举的是补集的子集，但本质上复杂度分析与忽略取补集的操作没有区别。

• 我们发现一旦确定了集合 \(t,s\) ，那么哪个水果被吃掉，哪个水果被选但没被吃掉，哪个水果没有选就确定了。后者的状态数是 \(3^{n}\) ，所以我们枚举子集转移的时间复杂度也是 \(3^n\)。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#define dd double
#define ld long double
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define N 70000
#define M 14
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e8;

inline int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}

int n,m,f[M][N],ans;
bool a[M][M],vis[M][N];

inline void dfs(int i_,int t_,int pos,int s){
    if(pos==m+1){
        if(vis[i_-1][s]) return;
        f[i_][t_]+=f[i_-1][s];
        f[i_][t_]%=mod;
        return;
    }
    if(((t_>>(pos-1))&1)==0){
        dfs(i_,t_,pos+1,s|(1<<(pos-1)));
        dfs(i_,t_,pos+1,s);
    }
    else dfs(i_,t_,pos+1,s);
}

int main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            a[i][j]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=(1<<m)-1;j++)
            for(int k=1;k<=m;k++){
                if(!a[i][k]&&(j>>(k-1))&1) vis[i][j]=1;
                if(((j>>(k-1))&1)&&((j>>k)&1)) vis[i][j]=1;
            }
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int t=0;t<=(1<<m)-1;t++){
            dfs(i,t,1,0);
        }
    }
    for(int s=0;s<=(1<<m)-1;s++){
        if(!vis[n][s]) ans+=f[n][s],ans%=mod;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

因为有递归，所以常数大一些。