二分图最大匹配可行边必须边
1二分图最大匹配必须边可行边
顾名思义，必须边，指无论哪一种二分图最大匹配方案，都有这一条边。可行边，指在某一种二分图最大匹配方案找中有这一条边。
2判定
对于完备匹配来说，任意的最大匹配方案，若是匹配边，则从右部点向左部点连有向边，若不是匹配变，则从左部点向右部点连边，在这张图上跑tarjan求强联通分量，若这条边是匹配边，且端点不在强联通分量中，则为必须边，若是匹配边或端点在强联通分量中，则为可行边。
简单来说，就是因为我们可以改变强联通分量中所有边的转向来改变匹配方案。
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#define dd double
#define ld long double
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define N 8010
#define M 40000
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
inline int Min(int a,int b){
return a>b?b:a;
}
inline ll read(){
ll x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
struct edge{
int to,next;
inline void intt(int to_,int ne_){
to=to_;next=ne_;
}
};
edge li[M];
int head[N],tail;
inline void add(int from,int to){
li[++tail].intt(to,head[from]);
head[from]=tail;
}
int dfn[N],low[N],stack[N],top,tot,ctot,c[N];
bool ins[N];
inline void tarjan(int k){
dfn[k]=low[k]=++tot;
stack[++top]=k;ins[k]=1;
for(int x=head[k];x;x=li[x].next){
int to=li[x].to;
if(!dfn[to]){
tarjan(to);
low[k]=Min(low[k],low[to]);
}
else if(ins[to]) low[k]=Min(low[k],dfn[to]);
}
if(dfn[k]==low[k]){
ctot++;int val;
do{
val=stack[top--];ins[val]=0;
c[val]=ctot;
}while(val!=k);
}
}
map<string,int> Map;
int mtot=1,n,m;
int main(){
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
string s1,s2;
cin>>s1>>s2;
int &from=Map[s1],&to=Map[s2];
if(!from) from=++mtot;
if(!to) to=++mtot;
add(to,from);
}
m=read();
for(int i=1;i<=m;i++){
string s1,s2;
cin>>s1>>s2;
int &from=Map[s1],&to=Map[s2];
add(from,to);
}
for(int i=1;i<=mtot;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
for(int i=2;i<=mtot;i+=2){
if(c[i]==c[i+1]) printf("Unsafe\n");
else printf("Safe\n");
}
return 0;
对于非完备匹配怎么做？
我们建立源点，汇点，在这张图上跑最大流
然后在残量网络上跑tarjan求强联通分量。
若这条边流量为1，且两端点不在强联通分量中，则为必须边。
若这条边流量为1，或两端点在强联通分量中，则为可行边。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#define dd double
#define ld long double
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define N 30000
#define M 300000
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
inline int Min(int a,int b){
return a>b?b:a;
}
inline ll read(){
ll x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
struct edge{
int from,to,next,f;
inline void intt(int from_,int to_,int ne_,int f_){
from=from_;to=to_;next=ne_;f=f_;
}
};
edge li[M];
int head[N],tail=1,now[N];
inline void add(int from,int to,int f){
li[++tail].intt(from,to,head[from],f);
head[from]=tail;
}
int s,t,n,m,e,ans;
queue<int> q;
int d[N];
inline bool bfs(){
memset(d,0,sizeof(d));
while(q.size()) q.pop();
q.push(s);d[s]=1;now[s]=head[s];
while(q.size()){
int top=q.front();q.pop();
for(int x=head[top];x;x=li[x].next){
int to=li[x].to,rest=li[x].f;
if(!rest||d[to]) continue;
q.push(to);
now[to]=head[to];
d[to]=d[top]+1;
if(to==t) return 1;
}
}
if(!d[t]) return 0;
return 1;
}
inline int dicnic(int k,int flow){
if(k==t) return flow;
int rest=flow,x;
for(x=now[k];x&&rest;x=li[x].next){
int to=li[x].to,re=li[x].f;
if(!re||d[to]!=d[k]+1) continue;
int val=dicnic(to,Min(rest,re));
if(!val) d[to]=0;
li[x].f-=val;
li[x^1].f+=val;
rest-=val;
}
now[k]=x;
return flow-rest;
}
int dfn[N],low[N],tot,ctot,stack[N],top,c[N];
bool ins[N];
inline void tarjan(int k){
dfn[k]=low[k]=++tot;
stack[++top]=k;ins[k]=1;
for(int x=head[k];x;x=li[x].next){
int to=li[x].to,f=li[x].f;
if(!f) continue;
if(!dfn[to]){
tarjan(to);
low[k]=Min(low[k],low[to]);
}
else if(ins[to]) low[k]=Min(low[k],dfn[to]);
}
if(low[k]==dfn[k]){
int val;ctot++;
do{
val=stack[top--];ins[val]=0;
c[val]=ctot;
}while(val!=k);
}
}
vector<int> ansx;
int main(){
n=read();m=read();e=read();
for(int i=1;i<=e;i++){
int from=read(),to=read();
add(from,to+n,1);
add(to+n,from,0);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
add(n+m+1,i,1);
add(i,n+m+1,0);
}
for(int i=n+1;i<=n+m;i++){
add(i,n+m+2,1);
add(n+m+2,i,0);
}
//build over
s=n+m+1;t=n+m+2;
int flow=0;
while(bfs())
while(flow=dicnic(s,INF)) ans+=flow;
// printf("ans:%d\n",ans);
//dicnic over
ans=0;
for(int i=1;i<=n+m+2;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
// printf("here\n");
for(int i=2;i<=2*e;i+=2){
int f=li[i].f,from=li[i].from,to=li[i].to;
if(f&&c[from]!=c[to]) ans++,ansx.push_back(i);
}
// printf("here\n");
printf("%d\n",ans);
if(ans!=0) for(int i=0;i<ansx.size();i++) printf("%d ",ansx[i]/2);
else printf("\n");
return 0;
}
