克拉默法则&矩阵分块：线性代数学习笔记2

1.克拉默法则

1.1

如果一个线性方程组的系数矩阵A的行列式不等于0，那么该方程组有唯一解\(x_i=\dfrac{|A_i|}{|A|}\)，其中，\(A_i\)指的是把A中第i列元素用常数项代替后的矩阵。


取自：https://wenku.baidu.com/view/ef6619d2804d2b160b4ec0d9.html

2.矩阵分块

2.1

分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧，也是数学在多领域的研究工具。对矩阵进行适当分块，可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而能够大大简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。有不少数学问题利用分块矩阵来处理或证明，将显得简洁、明快。
分块矩阵是一个矩阵， 它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵 。 然后把每个小矩阵看成一个元素。这每个小矩阵称作子块，大矩阵为分块矩阵。

2.2运算

1.加法 如果每个子块行列相同，则按照矩阵加法法则即可。
2.数乘 按照矩阵数量乘法法则即可
3.矩阵乘法 要求A矩阵每个子块行数与B矩阵每个子块列数相等。其余按照矩阵乘法法则即可
4.倒置 在分块矩阵倒置，不仅其中每个子块倒置，其中每个子块的位置也要按照矩阵倒置的法则
5.分块对角矩阵 即除主对角线上有元素，其余元素都为0的分块矩阵。它的行列式的值等于主对角线上每个元素的行列式的值相乘。而其逆矩阵的行列式的值等于主对角线上每个元素的逆矩阵的行列式相乘。

3其它

1.矩阵A为0矩阵的充分必要条件是\(A^TA=0\)
2.如果把矩阵A的行向量记作\(a_i\)则其列向量通常记为\(A_i^T\)