行列式与矩阵——线性代数学习笔记1

1行列式按行按列展开法则

设\(a_{1j}，a_{2j}，…，a_{nj}(1≤j≤n)\)为n阶行列式\(D=|a_{ij}|\)的任意一列中的元素，\(A_{1j}，A_{2j}，…，A_{nj}\)分别为它们在D中的代数余子式，则\(D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+…+a_{nj}A_{nj}\)称为行列式D的依列展开。
例如，在一个三阶行列式D中，划去元素\(a_{ij}(i=1, 2,3; j=1, 2,3)\)所在的第i行和第j列的所有元素，剩下的元素按照它原有的位置得到的一个二阶行列式称为元素\(a_{ij}的余子式\)，记作\(M_{ij}\)。而将\((-1)^{i+j}*M_{ij}\)称为元素\(a_{ij}\)的代数余子式，记作\(A_{ij}\)，即\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)
定理1 (行列式按列展开规则) n阶行列式d等于它的任意一列元素与它们对应的代数余子式之积的和。即：

定理2如果行列式D的第s列各元素与第t列各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当s≠t时，其和为零。则有：

因为行列式行列等价，所以上述定理对行也适用。
定理二即为代数余子式性质。

2矩阵

2.1矩阵运算：

2.1.1加法：

通常的矩阵加法被定义在两个相同大小的矩阵。两个m×n矩阵A和B的和，标记为A+B，一样是个m×n矩阵，其内的各元素为其相对应元素相加后的值。例如：

也可以做矩阵的减法，只要其大小相同的话。A-B内的各元素为其相对应元素相减后的值，且此矩阵会和A、B有相同大小。例如：

2.1.2矩阵数量乘法

\(t*D=|a_{ij}*t|\)
满足分配律，结合律

2.1.3矩阵乘法

设A为 的矩阵，B为 的矩阵，那么称 的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作 ，其中矩阵C中的第 行第 列元素可以表示为：

如下所示：



满足结合律，分配律。但不满足交换律。
即一般情况下：AB不等于BA，如果等于，则称A和B是可交换的。

2.1.4矩阵转置

设A为m×n阶矩阵（即m行n列），第i 行j 列的元素是a(i,j)，即：
把m×n矩|阵A的行换成同序数的列得到一个n×m矩阵，此矩阵叫做A的转置矩阵，记做或
例如矩阵

的转置矩阵为

一般的，若有等于，则称该矩阵是对称的。

2.2矩阵与行列式

一个方阵A的行列式为|A|，有\(|A^T|=|A|,|q*A|=q^n|A|,|AB|=|A||B|,|AB|=|BA|\)

2.3矩阵求逆

2.3.1伴随矩阵

设矩阵。
方阵的各元素的代数余子式\(A_{ij}\)所构成的如下矩阵\(A^*\)：
该矩阵\(A^*\)称为矩阵\(A\)的伴随矩阵

2.4.1逆矩阵

设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。记作\(B=A^{-1}\)
则有:
1.\({A^{-1}}^{-1}=A\)
2.若A可逆，则|A|不等于0，
3.若|A|不等于0，则A可逆，且\(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}*{A^*}\)
4.\({q*A}^{-1}=\dfrac{1}{q}*A^{-1}\)
5.{(AB)}^{-1}=B*A^{-1}
6.\({(A^T)}^{-1}={(A^{-1})}^T\)
7.\(A^a*A^b=A^{a+b},{(A^a)^b}=A^{ab}\)

2.5矩阵的多项式（非矩阵多项式）

多项式之间可交换

引用

多引用于百度百科