dp--四维模板&空间压缩&洛谷P1004，P1006题解
1.0题目
1.1 P1004
https://www.luogu.com.cn/problem/P1004
1.2 P1006
https://www.luogu.com.cn/problem/P1006
2.0讲解
2.1 P1004
题目很明显，就是从A到B点走两次，问路径最大值。
这个题允许交叉路径。
第一个错误思路是从左上走到右下，两次DP取最大值。
但是这两次路径的选择互相影响，但我们设计的状态并没有估计到，所以显然是错误的，例如下面这个例子：
0 0 1 0
0 0 1 0
1 0 1 1
1 0 2 0
所以，我们不妨设是有两个人同时从左上角开始走，走到右下角，这样可以满足这两条路径互相影响，第一个人走的路径考虑到了第二个人。
很明显可以设思维状态表示两个人的坐标，但这样太浪费空间，
所以可以设三维状态 \(F_{i,j,k}\) 表示第一个人走到i行，第二个人走到j行，一共走了k步时的最优解。其中i，j均小于\(min(k,n)\)
转移方程很明显是由上一步得到，那么是从上面走下来，还是从左面走过来，算上两个人，一共是有4种情况。
转移方程为\(F_{i,j,k}=max(F_{i,j,k-1},F_{i-1,j,k-1},F_{i-1,j-1,k-1},F_{i,j-1,k-1})\)
进行dp，如果初始状态算一步的话，那么结果应该是\(F_{n,n,2*n-1}\)
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#define dd double
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define N 10
#define M number
using namespace std;
int f[N][N][N*2],n;
int a[N][N],x,y,val;
inline int Max(int a,int b){
return a>b?a:b;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
scanf("%d%d%d",&x,&y,&val);
while(x!=0){
a[x][y]=val;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&val);
}
for(int i=1;i<=2*n-1;i++){
for(int j=1;j<=i&&j<=n;j++){
for(int k=1;k<=i&&k<=n;k++){
int jy=i-j+1,ky=i-k+1;
f[j][k][i]+=Max(f[j][k][i-1],Max(Max(f[j][k-1][i-1],f[j-1][k][i-1]),f[j-1][k-1][i-1]))+a[j][jy]+a[k][ky];
if(j==k) f[j][k][i]-=a[j][jy];
}
}
}
printf("%d",f[n][n][2*n-1]);
return 0;
}
但其实空间上可以再次优化，我们发现所有的\(F_{i,j,k}\)都是由\(F_{q,p,k-1}\)转移得到，所以可以用类似01背包的方式把空间压缩到两维，同时需要改变循环顺序。
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#define dd double
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define N 10
#define M number
using namespace std;
int f[N][N],n;
int a[N][N],x,y,val;
inline int Max(int a,int b){
return a>b?a:b;
}
inline int Min(int a,int b){
return a<b?a:b;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
scanf("%d%d%d",&x,&y,&val);
while(x!=0){
a[x][y]=val;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&val);
}
for(int i=1;i<=2*n-1;i++){
for(int j=Min(i,n);j>=1;j--){
for(int k=Min(i,n);k>=1;k--){
int jy=i-j+1,ky=i-k+1;
f[j][k]=Max(f[j][k],Max(Max(f[j][k-1],f[j-1][k]),f[j-1][k-1]))+a[j][jy]+a[k][ky];
if(j==k) f[j][k]-=a[j][jy];
}
}
}
printf("%d",f[n][n]);
return 0;
}
2.2 P1996
这个题和上一个题基本类似，但是唯一不同的是不允许路径交叉。
这里配合代码讲解
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#define dd double
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define N 51
#define M number
using namespace std;
int m,n;
int a[N][N],f[N][N][N*2];
inline int Max(int a,int b){
return a>b?a:b;
}
inline int Min(int a,int b){
return a>b?b:a;
}
int main(){
scanf("%d%d",&m,&n);
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
for(int i=1;i<=n+m-1;i++){
for(int j=1;j<=m&&j<=i;j++){
for(int k=1;k<=m&&k<=i;k++){
if(j==k) continue;
int jy=i-j+1,ky=i-k+1;
f[j][k][i]=Max(f[j][k][i-1],Max(f[j-1][k][i-1],Max(f[j][k-1][i-1],f[j-1][k-1][i-1])))+a[j][jy]+a[k][ky];
}
}
}
printf("%d",Max(f[m][m][m+n-1],Max(f[m-1][m][m+n-1],Max(f[m][m-1][m+n-1],f[m-1][m-1][m+n-1]))));
}
其中循环中jk是为了防止路径交叉的情况，转移方程基本类似。
还有一个不同点是输出结果时，因为当ij时并没有更新答案，所以最右下角并没有更新，需要再加一步取最优值。
