P2571 [SCOI2010]传送带——hyl天梦&三分算法
P2571 [SCOI2010]传送带题解————天梦
如写的不好，请多见谅。
对于这道题，我首先想说，确实困惑了我好久，看网上的各种题解，却都不尽人意，思路早已明白，却不会操作。最后想想，还是觉得自己试着写一个吧。一种思路，与题解的思路不同，但理论上可行，但我当时似乎也不太相信那所谓的“理论”，毕竟自己错过许多次，即使这样仍要相信自己吗？想着，便已经翻到了我所需要的——与自己思路相同的题解。网址是https://blog.csdn.net/qq_42920122/article/details/88622782，什么思路呢？，在这之前，我建议大家，一定要相信自己，接下来让我们一起往下看。
题目
引入
现在请各位读者先抛开这个题，先想这样一个问题，如果在一个平面上，有一个点E和一条线段CD，一般的，如何求得点到线段得最短距离？
这个问题很简单，答案：垂线段最短。所以，如果我们在垂足两侧取点，所得到的答案肯定比垂线段大。如果有一个动点P，从端点C运动到端点D，设在平面直角坐标系中，x为PC的长度，y为PE的长度，那么这个函数是一定是一个形如谷底（山峰）的图像。我们都知道，有单调性时，可以用二分。极值怎么办？答案是三分。
如果不懂三分，请参考其它博客。推荐https://www.cnblogs.com/newpanderking/archive/2011/08/25/2153777.html 我用的三分并不规范。
思路
有一个小事情大家可以理解一下。在题中，最优解实际上满足在AB上取一点E，在CD上取一点F作为拐点，即AE+EF+FD，为什么？读者可以自己画一画，即使你取两个不在线段上的点，也会有两个在直线上的点可以比原先点更优。
好了，问题来了，两条直线怎么办？如果我们已经确定点E，那么，根据“引入”，我们就可以确定答案了，但是我们并不知道，怎么办？答案：三分AB就可以了。详细看代码。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<deque>
#define dd double
#define ll long long
#define N 10000100
using namespace std;
dd ans=N;
struct point{
dd x,y;//存点的坐标
};
point a,b,c,d;
int p,q,r;
const dd eps=1e-8;//精度，我比较习惯于开1e-8;
dd dis(point l,point r)
{
return sqrt((l.x-r.x)*(l.x-r.x)+(l.y-r.y)*(l.y-r.y));
}//求点l到点r的距离，勾股定理
dd f(point mid2,point midmid)
{
return dis(mid2,midmid)/r+dis(midmid,d)/q;
}//这个函数是对于AB上的点mid2和在CD上的点midmid，求一下从mid到midmid和midmid到点d的“时间”；
dd Three_CD(point mid2)//三分CD,mid2是已将选好的“E”
{
dd zanans=N;
point l,r; l.x=c.x; l.y=c.y; r.x=d.x; r.y=d.y;
while(dis(l,r)>eps)
{
point mid,midmid;
mid.x=(l.x+r.x)/2.0; mid.y=(l.y+r.y)/2.0;
midmid.x=(mid.x+r.x)/2.0; midmid.y=(mid.y+r.y)/2.0;
if(f(mid2,mid)<f(mid2,midmid))
{
zanans=min(ans,f(mid2,mid));
r=midmid;
}
else
{
zanans=min(ans,f(mid2,midmid));
l=mid;
}
}
return zanans;
}
int main()
{
cin>>a.x>>a.y>>b.x>>b.y>>c.x>>c.y>>d.x>>d.y>>p>>q>>r;
point l,r; l.x=a.x; l.y=a.y; r.x=b.x; r.y=b.y;
while(dis(l,r)>eps)//三分AB
{
point mid,midmid;
mid.x=(l.x+r.x)/2.0; mid.y=(l.y+r.y)/2.0;
midmid.x=(mid.x+r.x)/2.0; midmid.y=(mid.y+r.y)/2.0;
dd ans1=Three_CD(mid);
dd ans2=Three_CD(midmid);//ans1是以mid为E的最优解，ans2同理，看着两个值哪个最优。
//cout<<ans1<<" "<<ans2<<" ";
ans1=ans1+dis(a,mid)/p;
ans2=ans2+dis(a,midmid)/p;
//cout<<ans1<<" "<<ans2<<" ";
if(ans1<ans2)
{
ans=min(ans,ans1);
r=midmid;
}
else
{
ans=min(ans,ans2);
l=mid;
}//更新ans
//printf("%0.2lf\n",ans);
}
printf("%0.2lf",ans);
return 0;
}
你以为这就完了，不，没有！
坑点
请大家仔细想想，如若A、B两点重合，会怎么样？ans将会是N！C、D重合是一个道理。do-while可以很好地解决这个问题。
真正AC代码（无注释）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<deque>
#define dd double
#define ll long long
#define N 10000100
using namespace std;
dd ans=N;
struct point{
dd x,y;
};
point a,b,c,d;
int p,q,r;
const dd eps=1e-8;
dd dis(point l,point r)
{
return sqrt((l.x-r.x)*(l.x-r.x)+(l.y-r.y)*(l.y-r.y));
}
dd f(point mid2,point midmid)
{
return dis(mid2,midmid)/r+dis(midmid,d)/q;
}
dd Three_CD(point mid2)
{
dd zanans=N;
point l,r; l.x=c.x; l.y=c.y; r.x=d.x; r.y=d.y;
do
{
point mid,midmid;
mid.x=(l.x+r.x)/2.0; mid.y=(l.y+r.y)/2.0;
midmid.x=(mid.x+r.x)/2.0; midmid.y=(mid.y+r.y)/2.0;
if(f(mid2,mid)<f(mid2,midmid))
{
zanans=min(ans,f(mid2,mid));
r=midmid;
}
else
{
zanans=min(ans,f(mid2,midmid));
l=mid;
}
}
while(dis(l,r)>eps);
return zanans;
}
int main()
{
cin>>a.x>>a.y>>b.x>>b.y>>c.x>>c.y>>d.x>>d.y>>p>>q>>r;
point l,r; l.x=a.x; l.y=a.y; r.x=b.x; r.y=b.y;
do
{
point mid,midmid;
mid.x=(l.x+r.x)/2.0; mid.y=(l.y+r.y)/2.0;
midmid.x=(mid.x+r.x)/2.0; midmid.y=(mid.y+r.y)/2.0;
dd ans1=Three_CD(mid);
dd ans2=Three_CD(midmid);
//cout<<ans1<<" "<<ans2<<" ";
ans1=ans1+dis(a,mid)/p;
ans2=ans2+dis(a,midmid)/p;
//cout<<ans1<<" "<<ans2<<" ";
if(ans1<ans2)
{
ans=min(ans,ans1);
r=midmid;
}
else
{
ans=min(ans,ans2);
l=mid;
}
//printf("%0.2lf\n",ans);
}while(dis(l,r)>eps);
printf("%0.2lf",ans);
return 0;
}
好了到这里就结束了。坑点也把我也坑过，这提醒我们要多细想与思考，考虑其特殊性。我就很缺乏这一点。若如有哪里写的不好或写错，敬请各位看官在评论区提出意见。最后，送读者们（虽然并不多）一句话，虽然已经听过多次：
细节决定成败！
现今听来，仍是觉得荡气回肠，掷地有声！
