组合数学
1.1 可重复组合
\(n\)个数中选择\(r\)个数，每个数可以重复选择多次。
方案数为\(\binom{n + r - 1}{r}\)。
考虑若没有选择多次的条件，就是在\(n\)个数中选择一个子数列，满足\(a_i < a_{i + 1}\)，现在有了可以重复选择的条件，也就是说我们选择的子数列变成了\(a_i <= a_{i + 1}\)，那么我们考虑如何将其变成\(a_i < a_{i + 1}\)的形式，只需将这个子数列从小到大排序，使\(a_i + i - 1\)即可。
那么此时的方案数是\(\binom{n + r - 1}{r}\)，感性理解一下就是从\(n + r - 1\)个数中选择\(r\)个数，那么按照\(a_i + i - 1\)的规则减回去，发现最大的数最大是\(n\)，最小的数是\(1\)，正好满足原来的条件。
接着考虑一个问题，如果依旧是是从\(n\)个数中选择\(r\)个数，不能选择相邻的数，每一个数只能选择一次的方案数。
那么此时选择的子数列就是\(a_i + 1 < a_{i + 1}\)的形式，我们考虑将它变成\(a_i < a_{i + 1}\)的形式，只需移项即可，得到\(a_i < a_{i + 1} - 1\)。那么现在数列中最大的数也就是\(n - r + 1\)了，方案数也就是\(\binom{n - r + 1}{r}\)。
