【P4370】[Code+#4]组合数问题2
Description
给定 \(n,m\) 选 \(k\) 个组合数 \(\dbinom{n}{m}\)，使得结果最大。
\(1 \leq n \leq 10 ^ 6,1 \leq k \leq 10 ^ 5\)。
Solution
众所周知，组合数和杨辉三角有着密不可分的联系，这就是一个杨辉三角 ：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
根据这个性质，我们发现，最大的数是 \(\dbinom{n}{n / 2}\)，但在他的周围，我们却不能得到取哪 \(k\) 个数字能达到最大。
还有一个问题，那就是 \(\dbinom{n}{m}\) 太大了，我们没法存，并且我们也没法取模，因为取模之后就不能进行比较了。
在这里有一个很巧妙的方法解决了这个问题，那就是取对数。
根据高一学到的知识,对数有以下性质 ：
\[\begin{aligned}
\log(x \times y) &= \log(x) + \log(y) \\
\log(\dfrac{x}{y}) &= \log(x) - \log(y)
\end{aligned}
\]
之后根据组合数公式 \(\dbinom{n}{m} = \dfrac{n!}{m!(n - m)!}\)。
所以一个组合数的对数就变成了这样的形式 ：
\[\log\left(\dbinom{n}{m}\right) = \sum_{i = 1} ^ n \log(i) - \sum_{i = 1} ^ m\log(i) - \sum_{i = 1} ^ {n - m} \log(i)
\]
所以我们预处理出 \(\sum_{i = 1} ^ n \log(i)\)，之后 \(O(1)\) 查询就行了。
之后就是取数的问题了，有一个结论 ：
\[\dbinom{n_1}{m} < \dbinom{n_2}{m} (n_2 > n_1)
\]
根据上面的杨辉三角就可以推出来，对于每一列的数，从下到上，依次减小，所以肯定是 \(\dbinom{n}{m}\) 取了之后再取 \(\dbinom{n - 1}{m}\)。
所以我们可以直接将最后一排全部扔进一个小根堆里面，运用贪心的思想，不断取最顶上的数 \(X\)，去完之后再把 \(\dbinom{X - 1}{m}\) 给丢进堆里。
对于从顶上取出来的数直接用阶乘 + 逆元的方法预处理，直接算出来即可。
注意 ： 为了不爆精度，必须用 double 来存 \(\log\) 值。
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define int long long
using namespace std;
struct Node{
int nn;
int mm;
double LLog;
inline bool operator < (const Node &z) const {
return LLog < z.LLog;//重定义小根堆
}
};
priority_queue <Node> qp;
const int Maxk = 1e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
int n,k;
int a[Maxk];
double Log[Maxk];
int inv[Maxk];
inline int read()
{
int s = 0, f = 0;char ch = getchar();
while (!isdigit(ch)) f |= ch == '-', ch = getchar();
while (isdigit(ch)) s = s * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
void Prepare()
{
inv[1] = inv[0] = 1,a[0] = 1;
for(int i = 1;i <= 1e6;i ++) Log[i] = Log[i - 1] + log(i);//取 log
for(int i = 1;i <= 1e6;i ++) a[i] = (a[i - 1] % mod * i % mod + mod) % mod;// 阶乘
for(int i = 2;i <= 1e6;i ++) inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;//逆元
for(int i = 1;i <= 1e6;i ++) inv[i] = inv[i - 1] * inv[i] % mod;//阶乘的逆元
}
signed main()
{
n = read(),k = read();
Prepare();
for(int i = 0;i <= n;i ++) {
Node cur;
cur.nn = n;
cur.mm = i;
cur.LLog = Log[n] - Log[i] - Log[n - i];
//cout << cur.nn << " " << cur.mm << " " << cur.LLog << endl;
qp.push(cur);
}
int Ans = 0;
for(int i = 1;i <= k;i ++) {
Node now = qp.top();
qp.pop();
Ans += (a[now.nn] % mod * inv[now.mm] % mod * inv[now.nn - now.mm] % mod + mod) % mod;
//cout << "ANS :: " << Ans << " NOW.n ::" << now.nn << " NOW.m :: " << now.mm << " AAA :: " << now.LLog << endl;
if(Ans >= mod) Ans %= mod;
now.nn -= 1;//放入下一个数
now.LLog = Log[now.nn] - Log[now.mm] - Log[now.nn - now.mm];
qp.push(now);
}
cout << Ans << endl;
return 0;
}
