【笔记/模板】割点和桥

割点

对于一张无向图 \(G=(V,E)\)，使得 H 是 G 的连通子图，且不存在 \(F\) 满足 \(H \subsetneq F \in G\) 且 \(F\) 为连通图，则称 \(H\) 是 \(G\) 的一个连通块/连通分量（connected component），又叫极大连通子图。

由此，我们可以对割点做出如下定义：

对于一个无向图，如果把一个点删除后这个图的极大连通分量数增加了，那么这个点就是这个图的割点（又称割顶）。

Tarjan

处理过程

与有向图的强连通分量相似，我们定义如下两个重要数组：

dfn[]：表示深度优先遍历图时节点 \(u\) 被遍历到的次序，即时间戳。
low[]：节点 \(u\) 在不通过父亲走过的路的情况下可以到达节点的最小时间戳。

根据割点的定义可知，如果一个节点 \(ver\) 是割点，那么必然有一个处于其 DFS 序子树内的节点 \(to\) 使得：

\[low_{to} \ge dfn_{ver} \]

这个意思指的是无论如何走，\(to\) 都无法到达 \(ver\) 以上的节点，不能回到祖先，那么 \(ver\) 即为割点。

然而当 \(ver\) 作为搜索的起始点时，由于 \(ver\) 以上没有父亲节点，自然无法判断其是否是割点，这种方法并不适用，对于这种情况，我们可以直接特判：记录从 \(ver\) 节点开始可以到达的子节点数量，如果大于 \(1\)，则 \(ver\) 肯定是割点；而如果只有一个儿子的话，删掉 \(ver\) 不会发生任何影响。

考虑如何在搜索的过程不断更新 low[] 数组：

当遍历到当前点 \(ver\) 时，令 \(low_{ver} \gets dfn_{ver}\)。
遍历子节点 \(to\) 时，如果 \(to\) 已经被更新过（\(dfn_{to}\) 有值），那么边 \(ver \to to\) 为非树边，要么为前向边（我们不用处理），要么为返祖边（令 \(low_{ver} \gets dfn_{to}\)）。
否则，由于 \(to\) 没有被遍历过，在 \(ver\) 的搜索子树当中，我们继续搜索 to 的子树，并将传递的值返回，令 \(low_{ver} \gets \min(low_{ver}, low_{to})\)。

伪代码如下（摘自 OI Wiki）：

\[\begin{array}{ll} 1 & \textbf{if } v \text{ is a son of } u \\ 2 & \qquad \text{low}_u = \min(\text{low}_u, \text{low}_v) \\ 3 & \textbf{else} \\ 4 & \qquad \text{low}_u = \min(\text{low}_u, \text{dfn}_v) \\ \end{array} \]

注意

由于 low[] 数组在 DFS 序子树中具有传递性，直接在子树中传递 low[ver] = min(low[ver], low[to]) 是没有任何问题的。

而如果边 \(ver \to to\) 是一条返祖边时，采取 low[ver] = min(low[ver], low[to]) 的更新方式会使得之后的点可以回溯到 \(ver\) 的其他点更新时重复上跳，违反了 low[] 数组的初始定义，导致出错。况且 low[] 数组的核心用处是判断 \(low_{to} \ge dfn_{ver}\) ，并非求最值，它仅需要找到一个比 \(ver\) 更小的点即可，因此 low[ver] = min(low[ver], dfn[to]) 的正确性成立。

详见：关于有向图 Tarjan 算法模板的一些疑问

代码

P3388 【模板】割点（割顶）

给出一个 \(n\) 个点，\(m\) 条边的无向图，求图的割点。

void tarjan(int ver, int pre)
{
	dfn[ver] = low[ver] = ++ timestamp;	// 初始化时间戳
	int child = 0;	// 记录该节点为根有几个儿子
	for (int i = h[ver]; ~i; i = ne[i])
	{
		int j = e[i];
		if (!dfn[j])
		{
			child ++;
			tarjan(j, ver);
			low[ver] = min(low[ver], low[j]);
			if (ver != pre && low[j] >= dfn[ver] && !flag[ver])
				res ++, flag[ver] = true;	// 找到一个割点
		}
		else if (j != pre)
			low[ver] = min(low[ver], dfn[j]);
	}
	if (ver == pre && child >= 2 && !flag[ver])
		res ++, flag[ver] = true;	// 特判根节点
}

割边（桥）

与割点的定义类似，如下：

对于一个无向图，如果删掉一条边后图中的连通分量数增加了，则称这条边为桥或者割边。

Tarjan

处理过程

与 Tarjan 算法求解割点的方法类似，我们同样定义两个数组 dfn[] 和 low[] 处理，对于一条割边，以它连接的子树必然无法通过别的边到达它上面的点，即对于一条在 DFS 树上的 \(ver \to to\) 边 \(edge\)：

\[low_{to} \gt dfn_{ver} \Leftto egde \in \text{Bridge} \]

需要注意的是，在标记一条边时，同时要标记它的反边。

代码

void tarjan(int ver, int from)
{
	dfn[ver] = low[ver] = ++ timestamp;
    for (int i = h[ver]; ~i; i = ne[i])
    {
		int to = e[i];
        if (to == (from ^ 1)) continue;
       	if (!dfn[to])
        {
			tarjan(to, i);
            low[ver] = min(low[ver], low[to]);
            if (low[to] > dfn[ver])
                bridge[i] = bridge[i ^ 1] = true, ++ ans;
        }
        else low[ver] = min(low[ver], dfn[to]);
        
    }
}