【笔记/模板】Tarjan-算法与有向图的强连通分量

有向图的强连通分量

定义

对于一张有向图 \(G = (V, E)\)，对于两点 \(u,v \in V\)，都存在一条路径可以使得 \(u\) 达到 \(v\)，\(v\) 也可以达到 \(u\)，则称该两个点是互相可达的。

如果一张有向图上的任意两个节点之间可以互相可达，则称这张图是 强连通的（Strongly Connected）。

对于一张子图 \(H \in G\)，并且不存在其他的连通图 \(F\) 使得 \(H \notin F \in G\)，则称子图 \(H\) 是有向图 \(G\) 的一个 强连通分量（Strongly Connected Component，SCC），叫做极大的连通分量。

应用

对于一个较为复杂的图论问题中，利用强连通分量的缩点技巧，将每一个强连通分量中的所有点看作一个点，最终使得图转化为 有向无环图（DAG），大大的减少了时间复杂度和解题难度。

Tarjan 算法

DFS 生成树

对于一张图的深度优先遍历，根据节点的先后遍历顺序，我们可以生成出一棵树，这棵树即为 DFS生成树，它的性质有如下几点：

• 深度优先遍历的第一个点是该树的根节点。
• 遍历一个节点的所有边时，如果找到一个没有访问过的节点，则这条边被称为树边（tree edge），如果找到了一个访问过的节点，则可能是返祖边（back edge）或者横叉边（cross edge）。除此之外，还有一种边叫做前向边（forward edge），它是在搜索的时候遇到子树中的节点的时候形成的。
• 如果结点 \(u\) 是某个强连通分量在搜索树中遇到的第一个结点，那么这个强连通分量的其余结点肯定是在搜索树中以 \(u\) 为根的子树中。结点 \(u\) 被称为这个强连通分量的根。

时间戳

在 Tarjan 算法中我们引入时间戳的概念，表示着DFS生成树上遍历节点的顺序。

我们维护一下几个变量：

1. \(dfn_u\)：表示深度优先搜索遍历节点时节点 \(u\) 的时间戳。
2. \(low_u\)：表示已 \(u\) 为根的子树中时间戳最小的一个节点的时间戳。

因为一个节点的子树内的 \(dfn\) 都大于该节点的 \(dfn\)，不难证明：

从根开始的一条路径上的 \(dfn\) 严格递增，\(low\) 严格非降。

Tarjan 算法

因此我们很容易想到，在一个强连通分量中，有且只有一个节点 \(u\) 使得 \(dfn_u = low_u\)，这个节点也是该分量中的根节点。因此，在深度优先搜索的回溯过程中，如果 \(dfn_u = low_u\)，则该节点 \(u\) 与搜索的节点构成一个 SCC。

问题就在于如何快速的求出被节点 \(u\) 所更新的其他节点，也就是由 \(u\) 构成的 SCC 的剩余节点。

由于 dfs 的本质是一个栈，我们可以维护一个栈用来记录更新的节点信息，直到回溯到 \(u\) 时，从栈顶到 \(u\) 的所有节点便是这个 SCC 的所有节点。

对于当前节点 \(u\) 和遍历节点 \(v\)，模拟方式如下：

1. 如果 \(v\) 未被访问：对 \(v\) 进行深度有些搜索，同时将回溯后的 \(low_v\) 来更新 \(low_u\)。
2. 如果 \(v\) 被访问过，且没有出栈：说明 \(v\) 当且不属于任何一个 SCC，直接用 \(dfn_v\) 更新 \(low_u\)。
3. 如果 \(v\) 被访问且不在栈中：说明 \(v\)​ 所在的 SCC 已经被处理，忽略。

模板代码

初始化

int n, m;	// 存图用的边数
int h[N], e[M], ne[M], idx;	// 链式前向星
int dfn[N], low[N], timestamp;	// timestamp 表示时间戳
int stk[N], top;	// 数组模拟栈
bool in_stk[N];		// 判断当前节点是否在栈中
int id[N], scc_cnt;	// 每个节点属于 SCC 分量的编号，SCC 的总数

核心代码

void tarjan(int ver)
{
	dfn[ver] = low[ver] = ++ timestamp;		// 更新时间戳，同时标记节点
	stk[++ top] = ver, in_stk[ver] = true;	// 加入栈中
	
	for (int i = h[ver]; ~i; i = ne[i])
	{
		int j = e[i];
		if (!dfn[j])						// 如果没有被访问过
		{
			tarjan(j);
			low[ver] = min(low[ver], low[j]);
		}
		else if (in_stk[j])
			low[ver] = min(low[ver], dfn[j]);
        	// low[ver] = min(low[ver], low[j]);
	}
	
	if (dfn[ver] == low[ver])				// 如果当前节点为 SCC 根节点
	{
		++ scc_cnt;							// 新增一个 SCC
		int tmp;
		do {
			tmp = stk[top --];
			in_stk[tmp] = false;			// 退栈
			id[tmp] = scc_cnt;				// 更新所属编号
		} while (tmp != ver);				// 根节点同样加进来
	}
}