【笔记/模板】ST表-RMQ

RMQ（区间最值问题）

Range Maxinum/Mininum Query（又称ST表）可以通过dp+倍增预处理的方式从而达到 \(O(n \log n)\) 的构建预处理，\(O(1)\) 的查询。

初始化

我们可以通过先定义一个二维数组 \(f_{i, j}\)表示从第 \(i\)个数开始的区间大小为 \(j\) 的最值。而由于一个区间的最值 \(f_{i, j}\) 可以通过这个区间的两部分 \(f_{i, j - 1} 和 f_{i + 2 ^ {j - 1}, j - 1}\)得到，从而可以得到状态转移方程：

\[f_{i, j} = \max/\min(f_{i, j - 1}, f_{i + 2 ^{j - 1}, j - 1}) \]

数组的第一维范围为数据的最大范围 \(n\)，第二维为数据最大范围的 \(\log_{2} n\)。因此构造的时间复杂度为 \(O(n \log n)\)。代码如下

void init()
{
	for (int j = 1; j < M; j++)
		for (int i = 1; i + (1 << j) -  1 <= n; i++)
			f[i][j] = min(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
}

区间查询

如果查询的区间为 \([l, r]\)，那么令 \(k\) 为所求的 \(\log\) 数值，即 \(k = \lfloor \log_{2} (r - l + 1) \rfloor\)，从而 \(2 ^ {k + 1} \geq r - l + 1\)。

故可得答案 \(ans\) 为：

\[ans = \min / \max (s_{l, k}, s_{r - 2^{k} + 1, k}) \]

int query(int l, int r)
{
	int len = r - l + 1;
	int k = log2(len);
	return min(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
}