贪心算法——最小生成树

贪心算法——最小生成树

何为最小生成树：

如图：

通俗一点呢 就是能连通图上所有点的一条不存在环的权重总和最小的路径

求最小生成树的两种算法

1.Kruskal算法

（1）流程

a.初始化：将图$G=<V,E>$初始化只有n个独立顶点的图，并按边权重从小到大排序；
b.依次遍历排序好的边，如果边$e_{ij}$的两个顶点$v_i$和$v_j$属于两个不同的连通分支，则将此边加入到图中，否则忽略该边。
如图

（2）割性质及其证明

此证明运用了反证法

（3）Kruskal算法具有最优子结构性质

Kruskal算法每次选择一条边e将两个不连通的图$T_1$和$T_2$连成一棵树T，设T是最小生成树，则$T_1$和$T_2$是它们节点集合的最小生成树。

证明：
通过反证法进行证明，假设$T_1^{\prime }$（或者$T_2^{\prime }$）是$T_1$（或者$T_2$）节>点集合的最小生成树，用边e将这两个不连通图$T_1^{\prime }$和$T_2^{\prime }$连成一个树>$T^{\prime }$时：

$$W(T^{\prime })=W(T_1^{\prime })+W(T_2^{\prime })+w_e<W(T_1)+W(T_2)+w_e=W(T)$$

这与$T$是最小生成树矛盾，引理得证。

Prim算法

（1）初始化：所有节点的$weight$值置为$\mathrm{\infty }$，$prev$值设为$null$，选择任意节点作为根节点，跟节点的$weight$值置为0，$prev$值为自身，并将根节点放入$T$中（最终$T$为最小生成树），并将根节点设为当前节点。
（2）将所有和当前节点直接相连的节点$weight$进行更新，即如果当前节点相连的边的权重小于节点$weight$值，则更新，且将$prev$值设为当前节点，否则，不进行更新；
（3）在剩余节点（未加入到树中），选择一个$weight$值最小的节点加入到$T$中，并将此节点作为当前节点；
（4）重复步骤（2）和（3），直到所有的节点都加入到$T$中。
流程如图

关于Prim的定理证明