【学习笔记】珂朵莉树（ODT）

1|0珂朵莉树

1|10x00 起源

起源于 CodeForces 的一题 CF896C，当时出题人提供了这种做法，在随机数据下均摊复杂度比较优秀。

正统名字好像叫颜色段均摊，由于题目也得名于 $\stackrel{\mathtt{O}\mathtt{l}\mathtt{d}}{\mathtt{\text{珂}}}\stackrel{\mathtt{D}\mathtt{r}\mathtt{i}\mathtt{v}\mathtt{e}\mathtt{r}}{\mathtt{\text{朵}}}\stackrel{\mathtt{T}\mathtt{r}\mathtt{e}\mathtt{e}}{\mathtt{\text{莉}}}\mathtt{\text{树}}$。

1|20x01 基本结构

先看代码：

struct node{
	ll l,r;
	mutable ll v;
	node(ll _l,ll _r=0,ll _v=0): l(_l),r(_r),v(_v){}
	bool operator<(const node &rhs)const{
		return l<rhs.l;
	}
};
set<node> s;

结构体中的 $l,r$ 指数列中 $[l,r]$ 段的左右端点，$v$ 指这一段表示的数字。

$\mathtt{m}\mathtt{u}\mathtt{t}\mathtt{a}\mathtt{b}\mathtt{l}\mathtt{e}$ 可让只读迭代器修改其中 $v$ 的值。

重载运算符 < 的用意是让所有区间按照左端点从小到大排序。

例如原数列为

经过颜色均摊之后，形成的珂朵莉树是这样的：

1|30x02 split

珂朵莉数核心操作：split，作用是以 $pos$ 为分界线，把 $[l,r]$ 分为 $[l,pos-1]$ 和 $[pos,r]$ 两段，函数的返回值是指向 $[pos,r]$ 的迭代器。

为省时间且好写，set<node>::iterator 可以 typedef 一下或直接用 auto（C++14 及以后）。

代码：

auto split(int pos){
	auto it=s.lower_bound(node(pos)); //按 l 找包含 pos 的 node
	if(it!=s.end() && it->l==pos) return it; //找到且为区间左端点，直接返回
	it--;//要么没找到，要么是包含 pos 的 node 的后一个 node
	if(it->r<pos) return s.end(); //没找到，返回
	ll l=it->l,r=it->r,v=it->v; //复制一份
	s.erase(it); //删掉这个区间
	s.insert(node(l,pos-1,v));  //插入左区间
	return s.insert(node(pos,r,v)).first; //插入右区间，并返回右区间的迭代器
}

1|40x03 assign

对应区间推平操作。因为我们的 $[l,r]$ 可能包含在其他区间内，所以我们要先把 $l,r$ split 出来，然后删除中间的所有节点，最后插入一个 $(l,r,v)$ 即可。

注意分裂时要先 split(r+1) 再 split(l)，不然可能会导致原来指向 split(l) 的迭代器释放，造成 RE。

代码：

void assign(ll l,ll r,ll x){
	auto itr=split(r+1),itl=split(l);
	s.erase(itl,itr);
	s.insert(node(l,r,x));
}

1|50x04 其他操作

基本都是套板子：

void modify(ll l,ll r,ll x){
	auto itr=split(r+1),itl=split(l);
	for(auto it=itl;it!=itr;it++)
		// do sth
}

1|60x05 例题

• https://www.luogu.com.cn/problem/CF896C （梦开始的地方）
• https://www.luogu.com.cn/problem/SP13015 （前置知识：素数筛）
• https://www.luogu.com.cn/problem/SP19568 （上一题加强版，加了单点修改操作）
• https://www.luogu.com.cn/problem/CF915E （珂朵莉树板子）

1|70x06 完整代码

$\text{Link}$

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本文作者：TheSky233
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