【学习笔记 / 数据结构】线段树进阶

1|0扫描线

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1|1思想

以一条法线从下往上扫描整个图形，图形面积并即为 $\sum _{i=1}^{n-1}le{n}_i\times (h_{i+1}-h_i)$，其中 $le{n}_i$ 为当前扫描线长度，$h_k$ 为编号为 $k$ 的线段的 $y$ 坐标。

1|2图示

如图：

$\mathtt{\text{Step 1:}}$

从头开始扫。

$\mathtt{\text{Step 2:}}$

扫到第二条，计算浅蓝色部分面积。

$\mathtt{\text{Step 3-4}}$

扫描线当前长度可以用线段树优化（区间修改）。

2|0动态开点

【例题】：HDU6183 - Color it！

题意：给出以下操作：

• $\mathtt{\text{0}}$，代表清空所有颜色。
• $\mathtt{\text{1 x y c}}$ 代表在坐标 $(x,y)$ 涂上第 $c$ 种颜色。
• $\mathtt{\text{2 x y1 y2}}$ 代表统计 $x$ 轴上 $(1,x)$ 和 $y$ 轴上 $(y1,y2)$ 的颜色数，一个点可以有多种颜色.
• $\mathtt{\text{3}}$ 代表结束。

数据保证 $n,m\le {10}^6,0\ge c\le 50,y1\le y2$。

2|1思路

开 $50$ 棵线段树维护当前颜色 $y$ 坐标上最小的 $x$，查询 $(x,y1,y2)$ 时，看那个颜色的线段树 $(y1,y2)$ 区间的值是否 $\le x$ 即可。

因为空间会爆炸，所以不能常规开线段树，用到什么区间就开那个区间的内存即可。

3|0可持久化线段树 / 主席树

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主席树即为可持久化权值线段树，即在保留历史版本的前提下更新线段树，分析可得，修改的节点是一条链且必然产生新的根，未修改的连到过去版本即可。

使用动态开点。

大概长这样：

第 $i$ 棵主席树保存的是离散化后 $[1,i]$ 出现的次数。

区间查询时，运用前缀和的思想确定左右区间，递归求解。

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所有笔记的代码：

• https://www.luogu.com.cn/paste/2lwa55o2

画图软件：

• $\text{Microsoft Whiteboard}$

编辑器：

• $\text{CP Editor / Dev-C++}$

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本文作者：TheSky233
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