test20191004

闲扯

这次的考试题感觉也不是很难，但是比较考思维。还有我 \(hash\) 感觉跟没学过一样，这次顺便也学了下吧。

\(T1\)

Solution

我们将题目简化一下，相当于是求下面的式子：

\[\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} (g(a_i\ xor\ b_j)==2) \]

其中 \(g(x)\) 的定义是数 \(x\) 在二进制表示下 \(1\) 的个数。
一个简单粗暴的方法是直接枚举 \(i,j\) ，然后暴力判断 \(g(a_i\ xor\ b_i)\) 。
这样做的时间复杂度是 \(O(n^2\log max\_val)\) ，可以通过 \(60\%\) 的数据。
考虑优化。
我们可以发现，我们相当于对每一个 \(a_i\) 找两个数 \(x,y\) ，找出等于 \(a_i\ xor\ 2^x\ xor\ 2^y\) 的 \(b_j\) 的个数。即：

\[a_i\ xor\ 2^x\ xor\ 2^y=b_j \]

我们写一个 \(hash\) 表来存对于每一个 \(a_i\) ，我们得到的值，然后对于每一个 \(b_i\) ，查询经过一系列操作得到的他的个数即可。
这样做的时间复杂度是 \(O(n\log^2 max\_val)\) ，可以通过 \(80\%\) 的数据。
继续优化。
我们对前面的式子进行一下变化，得到下面的式子：

\[a_i\ xor\ 2^x=b_j\ xor\ 2^y \]

这样，我们只需要对两边都枚举一个数，然后查找中途相遇的个数即可。
但是需要注意的有两点：

1. 对于相同的 \(a_i,b_j\) 我们需要将它们减去。
2. 对于最后的答案，我们需要除以 \(2\) 。（有重复计算）

时间复杂度： \(O(n\log n)\) 。

\(T2\)

我们不需要直接维护有没有通路，只需要看有没有一条链，使得左右边界连接起来了。
这个我们可以用并查集维护。
因为最左边和最右边是可以连通的，所以我们再可以复制一份，放到另一边，随便乱搞一下就行。

\(T3\)

考虑 \(DP\) 。
我们设 \(dp_{i,j}\) 表示考虑前 \(i\) 位，其中 \(\sum\limits_{k=1}^{i} a_k\cdot x_k\leq j \leq \sum\limits_{k=1}^{i} b_k\cdot x_k\) 。
转移时，我们有如下转移方程：

\[dp_{i,j}=\min(dp_{i-1,j},\min\limits_{j-b_i\leq x\leq j-a_i}(dp_{i-1,x})+c_i) \]

这就是一个单调队列优化 \(DP\) 的板子题了。