互质与欧拉函数学习笔记
互质与欧拉函数学习笔记
互质
定义：
\(\forall a,b\in \N\) ，若 \(gcd(a,b)=1\) ，则称 \(a,b\) 互质。
积性函数
定义：
如果 \(a,b\) 互质时，有 \(f(ab)=f(a)*f(b)\) ，那么称函数 \(f\) 为积性函数。
性质：
若 \(f\) 为积性函数，且在算数基本定理中， \(n=\prod\limits_{i=1}^m p_i^{c_i}\) ，则 \(f(n)=\prod\limits_{i=1}^m f(p_i^{c_i})\) 。
欧拉函数
- 定义：
\(1\sim N\) 中与 \(N\) 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 \(\varphi(N)\) 。
若在算数基本定理中， \(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_m^{c_m}\) ，则： \(\varphi(N)=N*\frac{p_1-1}{p_1}*\frac{p_2-1}{p_2}\cdots\frac{p_m-1}{p_m}=N*\prod\limits_{质数p\mid N}(1-\frac{1}{p})\) 。
证明：
设 \(p\) 是 \(N\) 的质因子， \(1\sim N\) 中 \(p\) 的倍数共有 \(N/p\) 个。同理，若 \(q\) 也是 \(N\) 的质因数，则 \(1\sim N\) 中 \(q\) 的倍数有 \(N/q\) 个。若我们将这 \(N/p+N/q\) 个数去掉，那么 \(p*q\) 的倍数被排除了两次，需要加回来一个。因此，根据容斥原理， \(1\sim N\) 中不与 \(N\) 含公共质因子 \(p\) 或 \(q\) 的数的个数为：
\(N-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}+\frac{N}{pq}=N(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})\)
类似的，我们对于 \(N\) 的全部质因子使用容斥原理，即可得到 \(\varphi(N)\) 。
- 性质
- \(\forall n>1,1\sim n\) 中与 \(n\) 互质的数之和为 \(n*\varphi(n)/2\) 。
- 若 \(a,b\) 互质，则 \(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\) 。
- 设 \(p\) 为质数，若 \(p\mid n\) 且 \(p^2\mid n\) ，则 \(\varphi(n)=\varphi(n/p)*p\) 。
- 设 \(p\) 为质数，若 \(p\mid n\) 且 \(p^2\not|n\) ，则 \(\varphi(n)=\varphi(n/p)*(p-1)\) 。
- \(\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n\) 。
证明：
因为 \(gcd(n,x)=gcd(n,n-x)\) ，所以与 \(n\) 不互质的数 \(x,n-x\) 成对出现，平均值为 \(n/2\) 。因此，与 \(n\) 互质的数的平均值也是 \(n/2\) ，性质 \(1\) 成立。
根据欧拉函数的计算式，因为 \(gcd(a,b)=1\) ，所以它们没有除了 \(1\) 以外的公约数，计算时不会重复出现 \((1-\frac{1}{p})\) ，性质 \(2\) 成立。
若 \(p\mid n\) 且 \(p^2\mid n\) ，则 \(n,n/p\) 包含相同的质因子，按照欧拉函数的计算公式，两者相除商为 \(p\) ，性质 \(3\) 成立。
若 \(p\mid n\) 且 \(p^2\not|n\) ，则 \(gcd(n,n/p)=1\) ，由 \(\varphi\) 是积性函数得 \(\varphi(n)=\varphi(n/p)*\varphi(p)\) 。其中 \(\varphi(p)=p-1\) ，性质 \(4\) 成立。
设 \(f(n)=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\) 。用乘法分配率展开比较，再利用 \(\varphi\) 是积性函数，得到：若 \(gcd(n,m)=1\) ，则 \(f(nm)=\sum\limits_{d|nm}\varphi(d)=(\sum\limits_{d|n}\varphi(d))*(\sum\limits_{d|m}\varphi(d))=f(n)*f(m)\) 。即 \(f\) 是积性函数，对于单个质因子， \(f(p^m)=\sum\limits_{d|p^m}\varphi(d)=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+\cdots+\varphi(p^m)\) 是一个等比数列求和再加 \(1\) ，结果为 \(p^m\) 。所以 \(f(n)=\prod\limits_{i=1}^m f(p_i^{c_i})=\prod\limits_{i=1}^m p_i^{c_i}=n\) ，性质 \(5\) 成立。
例题
题面
Solution
分析题目可以发现，除了 \((1,0)\) ， \((0,1)\) 和 \((1,1)\) 三个点之外，一个钉子 \((x,y)\) 能被看到，当且仅当 \(gcd(x,y)=1\) 时成立。
由于能看到的钉子明显是关于 \(y=x\) 这条直线对称的，所以我们只需要求其中一半即可。对于该坐标系的右下方可以看到的钉子，满足对于每个 \(2\leq x\leq N\) 都有 \(1\leq y<x,gcd(x,y)=1\) 。这样的 \(y\) 的数量恰好就是 \(\varphi(x)\) 。
综上所述，本题的答案就是 \(3+2*\sum\limits_{i=2}^N\varphi(i)\) 。我们要做的就是求出 \(2\sim N\) 中每个数的欧拉函数。
Code
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
template<class T>void read(T &x)
{
x=0;char k=getchar();int f=1;
for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=x*10+k-'0';
x*=f;
}
int n,ans;
int prime[40005],tot,phi[40005];
bool is_not_pr[40005];
inline void prepare()
{
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!is_not_pr[i])
{
prime[++tot]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<n;j++)
{
is_not_pr[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
}
}
}
int main()
{
read(n);
if(n==1) printf("0");
else
{
prepare();
for(int i=2;i<n;i++) ans+=phi[i];
printf("%d\n",ans*2+3);
}
return 0;
}
总结
这一部分的题要善于问题转化，将问题化简为可做的模式，同时它的拓展——欧拉反演也是比较重要的一类题，要抽时间去看一下。
