Luogu P1072 Hankson 的趣味题 题解

闲扯

蒟蒻持续学习数学中。。。

题面

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Solution

由条件 \(2\) ：\(lcm(x,b_0)=b_1\) 可以得出 \(x\mid b_1\) 。

我们可以枚举 \(b_1\) 的约数，如果同时满足条件 \(1\) 和条件 \(2\) ，那么我们就将答案加一。

由试除法可知，枚举一个数的的所有约数时间复杂度为 \(O(\sqrt{N})\) 。由于有多组数据，且还需求 \(gcd\) ，所以总的复杂度为 \(O(N\cdot\sqrt{b_1}\cdot \log{b_1})\) 。

加上读入优化和输出优化，可以很快的跑过去。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il print(T x){
	if(x/10) print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x%mod;
	while(m){
		if(m&1) res=(res*bas)%mod;
		bas=(bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res%mod;
}
int n,a,b,c,d,ans;
it gcd(int x,int y){return y==0?x:gcd(y,x%y);}
int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n);
	while(n--){
		read(a),read(b),read(c),read(d),ans=0;
		for(ri i=1;i*i<=d;++i){
			if(d%i) continue;
			if(gcd(i,a)==b&&1ll*i*c/gcd(i,c)==d) ans++;
			if(i*i==d) break;
			if(gcd(d/i,a)==b&&1ll*d/i*c/gcd(d/i,c)==d) ans++;
		}
		print(ans);puts("");
	}
	return 0;
}

总结

灵活应用 \(a\mid lcm(a,b)\) 这个结论。