Luogu [POI2002][HAOI2007]反素数 题解
闲扯
蒟蒻开始学数学了。。。
我之前可能学了一个假的数学
题面
Solution
- 引理 \(1\) ：
最大的反素数就是 \(1\dots N\) 中约数个数最大的数中最小的数。
证明：
设 \(m\) 为 \(1\cdots N\) 中约数个数最多的数中最小的一个。根据 \(m\) 的定义，显然满足：
-
\(\forall x<m，g_x<g_m\)
-
\(\forall x>m，g_x\leq g_m\)
根据反素数的定义，第一条性质说明 \(m\) 是反素数，第二条性质说明大于 \(m\) 的数都不是反素数，故 \(m\) 即为所求。
- 引理 \(2\) ：
\(1\dots N\) 中任意数的不同质因子都不会超过 \(10\) 个，且所有质因子的指数总和不超过 \(30\) 。
证明：
最小的 \(11\) 个质数的乘积大于 \(2*10^9\) ，所以 \(N<2*10^9\) 不可能有多于 \(10\) 个不同的质因子。
因为即使只包含最小的质数，仍然有 \(2^{31}>2*10^9\) ，所以 \(N<2*10^9\) 的质因子指数总和不可能超过 \(30\) 。
-
引理 \(3\) ：
\(\forall x\in[1,N]\) ，\(x\) 为反素数的必要条件是： \(x\) 分解质因数后可写作 \(2^{c_1}*3^{c_2}*5^{c_3}*7^{c_4}*11^{c_5}*13^{c_6}*17^{c_7}*19^{c_8}*23^{c_9}*29^{c_{10}}\) ，并且 \(c_1\geq c_2\geq \cdots \geq c_{10}\geq 0\) 。
证明：
因为约数的指数总和确定，而且要最小。如果指数不是单调递减，我们一定可以通过交换指数的方式，构造出一个约数个数不变，且值更小的数，显然不符合定义。
综上所述，我们可以用 \(DFS\) 确定每一个质因子的指数，并满足上述所有条件，然后依次更新答案即可。
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
int f=1;char k=getchar();x=0;
for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
x*=f;
}
template<class T>il print(T x){
if(x/10) print(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
int res=1,bas=x%mod;
while(m){
if(m&1) res=(res*bas)%mod;
bas=(bas*bas)%mod,m>>=1;
}
return res%mod;
}
int T,n,m,ans,cnt,prime[15]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
il DFS(int pos,int pre,int res,int num){
if(pos==11){
if(num>cnt) cnt=num,ans=res;
else if(num==cnt) ans=min(ans,res);
return ;
}
for(ri i=pre;i>=0;--i){
if(pow(prime[pos],i)>n) continue;
if(pow(prime[pos],i)>n/res) continue;
DFS(pos+1,i,res*pow(prime[pos],i),num*(i+1));
}
}
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
read(n);
DFS(1,30,1,1);
printf("%d",ans);
return 0;
}
总结
我果然好菜啊。。
这些题要抓住问题的特点进行分析，来逐渐地缩小范围或者找出正解的方法。
\(ps:\) 以上题解所有内容均来自李煜东的《算法竞赛进阶指南》蒟蒻太弱了，只能抄书
