Luogu P2045 方格取数加强版 题解

闲扯

所以我还是不会做网络流啊。。。

打个模板多轻松啊，为什么还要建图呢，天空这么蓝，森林那么绿，这个世界多么美好啊！

建图的套路感觉好多啊。。还是慢慢学吧。。

Solution

题目分析/建图

因为限制了方向，同时还限制了每一个最多取一次，要求和最大，想到了什么？什么都没想到 最大费用最大流！

因为每个点只能选一次，所以我们考虑把这个点拆开，变成一个入点，一个出点，然后在入点和出点之间连上一条流量为 \(1\) ，费用为 \(val_i\) 的边。但是每一个的数取了后还是可以经过这个位置的，所以还要在两点间连一条流量为 \(INF\) ，费用为 \(0\) 的边，来表示这个点的数取过之后，还是可以随意经过。

因为每一个点只能到它右边和下边的点，从这个点的出点向它连向的点的入点连一条流量为 \(INF\) ，费用为 \(0\) 的边，表示连通。

虚拟一个超级源点，连向第一个点的入点，流量为 \(k\) ，费用为 \(0\) ，限制只能取 \(k\) 次。

虚拟一个超级汇点，从最后一个点的出点连向改点，流量为 \(k\) ，费用为 \(0\) ，作用也是限制只能取 \(k\) 次。

然后就是跑一遍最大费用最大流模板即可。

小技巧

①对于限制了该点的取用次数的，可以将其拆成两个点，在两点间连一条流量为使用次数的边；如果取完了，但还是能经过，那么再连一条流量为 \(INF\) 的边。

②对于最大费用最大流，只需要将边的费用全部取相反数，然后跑最小费用最大流，最后得到的答案再取一次相反数即可。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il print(T x){
	if(x/10) print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x%mod;
	while(m){
		if(m&1) res=(res*bas)%mod;
		bas=(bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res%mod;
}
const int MAXN = 5e3+5;
int n,m,s,t,val,head[MAXN],num_edge=-1,pre[MAXN],last[MAXN],dis[MAXN],flow[MAXN],ans;
struct Edge{
	int next,to,w,c;
	Edge(){}
	Edge(int next,int to,int w,int c):next(next),to(to),w(w),c(c){}
}edge[MAXN<<2];
il add_edge(int u,int v,int w,int c){
	edge[++num_edge]=Edge(head[u],v,w,c),head[u]=num_edge;
	edge[++num_edge]=Edge(head[v],u,0,-c),head[v]=num_edge;
}
bool tr[MAXN];
inl bool SPFA(int s,int t){
	queue<int> q;q.push(s);
	del(dis,0x3f),del(flow,0x3f);
	dis[s]=0,pre[t]=-1,tr[s]=1;
	while(!q.empty()){
		ri pos=q.front();q.pop();tr[pos]=0;
		for(ri i=head[pos];i!=-1;i=edge[i].next)
			if(dis[edge[i].to]>dis[pos]+edge[i].c&&edge[i].w>0){
				dis[edge[i].to]=dis[pos]+edge[i].c;
				pre[edge[i].to]=pos,last[edge[i].to]=i;
				flow[edge[i].to]=min(flow[pos],edge[i].w);
				if(!tr[edge[i].to]) q.push(edge[i].to),tr[edge[i].to]=1;
			}
	}
	return pre[t]!=-1;
}
il MCMF(int s,int t){
	while(SPFA(s,t)){
		ans+=flow[t]*dis[t];
		for(ri u=t;u^s;u=pre[u]) edge[last[u]].w-=flow[t],edge[last[u]^1].w+=flow[t];
	}
}
int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),read(m),t=n*n*2+1,del(head,-1);
	for(ri i=1;i<=n;++i)
		for(ri j=1;j<=n;++j){
			read(val);
			add_edge(2*((i-1)*n+j)-1,2*((i-1)*n+j),1,-val),add_edge(2*((i-1)*n+j)-1,2*((i-1)*n+j),INF,0);
			if(j!=n) add_edge(2*((i-1)*n+j),2*((i-1)*n+j+1)-1,INF,0);
			if(i!=n) add_edge(2*((i-1)*n+j),2*(i*n+j)-1,INF,0);
		}
	add_edge(s,1,m,0),add_edge(n*n*2,t,m,0);
	MCMF(s,t);
	printf("%d",-ans);
	return 0;
}

总结

网络流的题目主要还是建图，图建好了，那么剩下的都是模板了。对于不同的问题要具体分析，同时做题的时候要注意积累建图的技巧。

蒟蒻与 \(dalao\) 们的距离还很远，要加油啊！！