Multi-Anti-Nim游戏结论及证明

一、定义

Anti-Nim 游戏：

取走最后一个石子的玩家输

Multi-Nim游戏：

每次取完后可以将一堆石子分为多堆，不能存在空堆

Multi-Anti-Nim游戏：

每次取完后可以将一堆石子分为多堆，不能存在空堆，取走最后一个石子的玩家输

 

二、Anti-Nim游戏结论及其证明

若局面满足以下两个条件中的1个，则先手必胜；否则，先手必败

1、局面的SG不为0，且至少存在一个子局面的SG>1

2、局面的SG为0，不存在子局面的SG>1

 

情况1：局面的SG!=0，至少存在一个子局面的SG>1

根据Nim取石子游戏的证明可知

一定存在一种方案，使后手面临局面SG=0

（将SG最大的子局面的SG变成局面SG^自己的SG即可）

先手选择让后手面临SG=0

（1）只有一个子局面的SG>1，那么先手可以选择将这一个子局面的SG变成0或者1，

后手面临局面有偶数个SG=1的子局面

局面SG=0，不存在一个子局面的SG>1，这是一个必败局面

所以先手必胜

（2）有两个或以上的子局面的SG>1，先手至多可以使一个子局面的SG<=1，

后手面临局面SG=0，存在子局面的SG>1，这是必败局面

所以先手必胜

 

情况2：局面的SG!=0，不存在子局面的SG>1

这种情况是奇数个SG=1的局面

那么只能转移到偶数个SG=1的局面

后手面临局面的SG为0，不存在子局面的SG>1，这是一个必胜局面

所以先手必败

 

情况3：局面的SG=0，不存在子局面的SG>1

这种情况是偶数个SG=1的局面

只能转移到奇数个SG=1的局面

后手面临局面的SG不为0，不存在子局面的SG>1，这是一个必败局面

所以先手必胜

 

情况4：局面的SG=0，存在子局面的SG>1

这种情况下，至少有两个子局面的SG>1

只能转移到局面的SG!=0，存在子局面的SG>1

后手面临必胜局面

所以先手必败

 

三、Multi-Anti-Nim游戏结论不变证明

结论:

同Anti-Nim游戏

 

证明：

只考虑先手必败局面

 

情况2：

因为不能分出SG=0的子局面，所以这种情况下无法局面无法再分

 

情况4：

即证明 子局面分裂之后的异或和 仍然不为0

同Anti-Nim游戏证明，详请参见http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/8618228.html