洛谷 P3994 高速公路（数据结构斜率优化）
https://www.luogu.org/problemnew/show/P3994
设dp[i] 表示第i个城市到根节点的最小花费
dp[i]=min{ (dis[i]-dis[j])*P[i]+Q[i]+dp[j] }
这是O（n^2）的
这个式子可以斜率优化
dp[i]+dis[j]*P[i]=dis[i]*P[i]+Q[i]+dp[j]
就是一条斜率为P[i]的直线，截（dis[j],dp[j]）的最小截距
在根往下走的过程中，斜率单调递增
这就体现了 为什么题目中说“i号城市是j号城市的某个祖先，那么一定存在Pi<=Pj”
我们按dfs序dp
现在唯一的问题就是如何得到 一个点到根节点路径上的单调队列
只需要考虑如何去除兄弟节点的子树对单调队列的影响
即在一个节点退出dfs时，将单调队列恢复为这个节点开始dfs的情况
头指针只是不断的+1，没有涉及到单调队列中元素的修改，所以记录下头指针在哪个位置即可
尾指针涉及到元素的替换，但是它只会替换一个元素，所以记录下尾指针的位置，以及被当前点替换的元素是谁
当节点退出dfs时，恢复记录的这三个值即可
这样的话，一个节点多次出队入队，时间复杂度就不是O（n）了
所以二分出队位置，时间复杂度为O（nlogn）
朴素的DP:
#include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; #define N 1000001 typedef long long LL; int P[N],Q[N]; int front[N],to[N<<1],nxt[N<<1],val[N<<1],tot; int fa[N]; LL dis[N]; int t; LL mi[N]; void read(int &x) { x=0; char c=getchar(); while(!isdigit(c)) c=getchar(); while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } } void add(int u,int v,int w) { to[++tot]=v; nxt[tot]=front[u]; front[u]=tot; val[tot]=w; to[++tot]=u; nxt[tot]=front[v]; front[v]=tot; val[tot]=w; } void dfs(int x,int f) { for(int i=front[x];i;i=nxt[i]) { if(to[i]==f) continue; dis[to[i]]=dis[x]+val[i]; mi[to[i]]=dis[to[i]]*P[to[i]]+Q[to[i]]; t=fa[to[i]]; while(t!=1) { mi[to[i]]=min(mi[to[i]],(dis[to[i]]-dis[t])*P[to[i]]+Q[to[i]]+mi[t]); t=fa[t]; } dfs(to[i],x); } } int main() { int n,s; read(n); for(int i=1;i<n;++i) { read(fa[i+1]); read(s); read(P[i+1]); read(Q[i+1]); add(fa[i+1],i+1,s); } dfs(1,0); for(int i=2;i<=n;++i) cout<<mi[i]<<'\n'; }
斜率优化，暴力出队:
#include<cstdio> #include<iostream> using namespace std; #define N 1000001 typedef long long LL; int front[N],nxt[N],to[N],tot,val[N]; int P[N],Q[N]; int q[N],head,tail; LL dis[N]; LL dp[N]; void read(int &x) { x=0; char c=getchar(); while(!isdigit(c)) c=getchar(); while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } } void add(int u,int v,int w) { to[++tot]=v; nxt[tot]=front[u]; front[u]=tot; val[tot]=w; } inline double X(int i,int j) { return dis[j]-dis[i]; } inline double Y(int i,int j) { return dp[j]-dp[i]; } void dfs(int x) { int now_h=head,now_t=tail; while(head<tail-1 && Y(q[head],q[head+1])<P[x]*X(q[head],q[head+1])) head++; int j=q[head]; dp[x]=(dis[x]-dis[j])*P[x]+dp[j]+Q[x]; while(head<tail-1 && Y(q[tail-2],q[tail-1])*X(q[tail-1],x)>X(q[tail-2],q[tail-1])*Y(q[tail-1],x)) tail--; int rr=q[tail]; q[tail++]=x; for(int i=front[x];i;i=nxt[i]) dis[to[i]]=dis[x]+val[i],dfs(to[i]); head=now_h; q[tail-1]=rr; tail=now_t; } int main() { int n; read(n); int fa,d; for(int i=2;i<=n;++i) { read(fa); read(d); add(fa,i,d); read(P[i]); read(Q[i]); } for(int i=front[1];i;i=nxt[i]) { dis[to[i]]=val[i]; q[head=0]=1; tail=1; dfs(to[i]); } for(int i=2;i<=n;++i) cout<<dp[i]<<'\n'; }
斜率优化，二分出队
#include<cstdio> #include<iostream> using namespace std; #define N 1000001 typedef long long LL; int front[N],nxt[N],to[N],tot,val[N]; int P[N],Q[N]; int q[N],head,tail; LL dis[N]; LL dp[N]; void read(int &x) { x=0; char c=getchar(); while(!isdigit(c)) c=getchar(); while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } } void add(int u,int v,int w) { to[++tot]=v; nxt[tot]=front[u]; front[u]=tot; val[tot]=w; } inline double X(int i,int j) { return dis[j]-dis[i]; } inline double Y(int i,int j) { return dp[j]-dp[i]; } void dfs(int x) { int now_h=head,now_t=tail; int l=head,r=tail-2,mid,tmp=-1; while(l<=r) { mid=l+r>>1; if(Y(q[mid],q[mid+1])>=P[x]*X(q[mid],q[mid+1])) tmp=mid,r=mid-1; else l=mid+1; } if(tmp!=-1) head=tmp; else head=tail-1; int j=q[head]; dp[x]=(dis[x]-dis[j])*P[x]+dp[j]+Q[x]; l=head,r=tail-2,tmp=-1; while(l<=r) { mid=l+r>>1; if(Y(q[mid],q[mid+1])*X(q[mid+1],x)<=X(q[mid],q[mid+1])*Y(q[mid+1],x)) tmp=mid,l=mid+1; else r=mid-1; } if(tmp!=-1) tail=tmp+2; else tail=head+1; int rr=q[tail]; q[tail++]=x; for(int i=front[x];i;i=nxt[i]) dis[to[i]]=dis[x]+val[i],dfs(to[i]); head=now_h; q[tail-1]=rr; tail=now_t; } int main() { int n; read(n); int fa,d; for(int i=2;i<=n;++i) { read(fa); read(d); add(fa,i,d); read(P[i]); read(Q[i]); } for(int i=front[1];i;i=nxt[i]) { dis[to[i]]=val[i]; q[head=0]=1; tail=1; dfs(to[i]); } for(int i=2;i<=n;++i) cout<<dp[i]<<'\n'; }
