Codeforces 314 E. Sereja and Squares

http://codeforces.com/contest/314/problem/E

 

题意：

原本有一个合法的括号序列

擦去了所有的右括号和部分左括号

问有多少种填括号的方式使他仍然是合法的括号序列

括号有25种，序列长度<=1e5

 

传统的做法：

 

令dp[i][j]表示当前到第i个字符，现在还有j个左括号

若第i+1个字符是左括号，则能转移到dp[i+1][j+1]

若第i+1个字符是问号，则能转移到dp[i+1][j-1]与dp[i+1][j+1]

时间复杂度为O(n^2)

 

换种思路

再看这道题，他与传统的括号序列的不同之处是他擦去了所有的右括号

令dp[k][i]表示 假设括号只有一种，前k个里面，填了i个右括号的方案数

如果第i个是问号

若当前可以填左括号 dp[k][i]+=dp[k-1][i]

若当前可以填右括号 dp[k][i]+=dp[k-1][i-1]

dp[n][n/2]就是如果只有一种括号，使序列合法的方案数

现在有25种括号，假设序列中已有q个左括号

那么最终答案=25^(n/2-q) * dp[n][n/2]

 

这个感觉上去也是n^2的

首先把第一维压去，解决空间问题

考虑j的枚举范围

前i个里面，至多有i/2 [下取整] 个右括号

至多可以填m个左括号，所以至少有i-n/2个右括号

平摊复杂度我就不知道了

 

对2^32取模相当于unsigned int 自然溢出

 

然后就过了，跑的还很快

 

 

#include<cstdio>

using namespace std;

#define N 100002

char s[N];

unsigned int f[N<<1];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    if(n&1) 
    {
        putchar('0');
        return 0;
    }
    scanf("%s",s+1);
    int m=n>>1,q=0;
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(s[i]=='?')
            for(int j=i>>1;j && j>=i-m;--j) f[j]+=f[j-1];
        else q++;
    unsigned int ans=f[m];
    for(int i=1;i<=m-q;++i) ans*=25;
    printf("%u",ans);
}