poj 1637 Sightseeing tour（欧拉回路、网络流）

http://poj.org/problem?id=1637

 

题意：

给出一张混合图，判断是否存在欧拉回路

 

原理：

1、存在欧拉回路的充要条件：所有点入度=出度

2、给无向边随便定向不会影响点的|出度-入度|的奇偶性

3、有向图存在欧拉回路径的必要条件：不存在|出度-入度|为奇数的点

 

将所有的无向边随便定向，计算d[i]=点i的出度-入度，如果有d[i]为奇数，一定不存在欧拉回路

接下来的问题，就是判断是否可以通过改变某些无向边的方向，使所有点的出度=入度（度数平衡）

这可以联想到网络流的流量平衡

点i只需要改变|d[i]|/2条边，便可以达到度数平衡

所以若i的入度>出度，由点i向汇点连流量为|d[i]/2|的边

若i的入度<出度，由源点向i连流量为|d[i]/2|的边

无向边怎么定的向，就在网络中怎么连边，流量为1

若可以满流，则原图存在欧拉回路

 

因为若源点向i有x的流量，表示与i相连的边中，要改变x条边的方向，才能使点i的度数平衡

增广路走哪条边，表示哪条边需要改变方向（因为开始时是对无向边随意定向）

所以当满流的时候，找到了所有需要改变方向的边

则原图的欧拉回路就是 原先的有向边+网络流中流量为1的边（没有增广路经过的边+有增广路经过的边的反向边）

 

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

#define N 205
#define M 3001

int n,m;
struct node
{
    int u,v;
    bool ty;
}e[M];

int d[N];

int front[N],nxt[M],to[M],cap[M],tot;

int src,decc;
int lev[N],cur[N];
queue<int>q;

template<typename T>
void read(T &x)
{
    x=0; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) c=getchar();
    while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
}

void add(int u,int v,int w)
{
    to[++tot]=v; nxt[tot]=front[u]; front[u]=tot; cap[tot]=w;
    to[++tot]=u; nxt[tot]=front[v]; front[v]=tot; cap[tot]=0;
}

bool bfs()
{
    int now,t;
    for(int i=0;i<=decc;++i) lev[i]=-1,cur[i]=front[i];
    lev[src]=0;
    q.push(src);
    while(!q.empty())
    {
        now=q.front();
        q.pop();
        for(int i=front[now];i;i=nxt[i])
        {
            t=to[i];
            if(lev[t]==-1 && cap[i])
            {
                lev[t]=lev[now]+1;
                q.push(t);
            }
        }
    }
    return lev[decc]!=-1;
}

int dinic(int now,int flow)
{
    if(now==decc) return flow;
    int rest=0; int delta,t;
    for(int &i=cur[now];i;i=nxt[i])
    {
        t=to[i];
        if(lev[t]==lev[now]+1 && cap[i])
        {
            delta=dinic(t,min(cap[i],flow-rest));
            if(delta)
            {
                rest+=delta;
                cap[i]-=delta;
                cap[i^1]+=delta;
                if(rest==flow) break;
            }
        }
    }
    if(rest!=flow) lev[now]=-1;
    return rest;
}

bool judge()
{
    memset(d,0,sizeof(d));
    for(int i=1;i<=m;++i) d[e[i].u]++,d[e[i].v]--;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(d[i]&1) return false;
    src=0;
    decc=n+1;
    int sum=0;
    tot=1;
    memset(front,0,sizeof(front));
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(d[i]>0) add(src,i,d[i]/2),sum+=d[i]/2;
        else if(d[i]<0) add(i,decc,-d[i]/2);
    for(int i=1;i<=m;++i)
        if(!e[i].ty) add(e[i].u,e[i].v,1);
    int max_flow=0;
    while(bfs()) 
        max_flow+=dinic(src,1e8);
    return max_flow==sum;
}

int main()
{
    int T;
    read(T);
    while(T--)
    {
        read(n); read(m);
        for(int i=1;i<=m;++i)
        {
            read(e[i].u); read(e[i].v); read(e[i].ty);
        }
        puts(judge()?"possible":"impossible");
    }
}