UVA 12307 Smallest Enclosing Rectangle
https://vjudge.net/problem/UVA-12307
求覆盖所有点的最小矩形面积、周长
相当于求凸包的最小面积外接矩形、最小周长外接矩形
结论:
这个矩形一定有一条边和凸包上一条边重合
证明去看https://wenku.baidu.com/view/f11d0836ee06eff9aef807d9.html
枚举一条边,用旋转卡壳求其他三边
假设现在正枚举到A点,对应紫色边,
显然,紫色边的对边一定 过A点的对踵点且与紫色边平行
那么矩形的高|BH|=AE、AB的叉积/ | AB |
现在只剩下|GD|
把向量CD平移至向量AF
|GD|=cos(∠CDG)*|CD|=cos(∠CDG)*|AF|
AF*AD=|AF|*|AD|*cos(∠DAF)
∵∠CDG=∠DAF
∴AF*AD=|GD|*|AD|
所以|GD|=AF*AD/|AD|
点A是枚举的,如何求点B C K?
上面说了,点B是点A的对踵点,
那么利用叉积,同底三角形面积越大,高越大 即可求出B点
直观上看,K点是距点A最靠右的点
即沿向量AD向右扩展
向右就可以想到两个向量点积>0
即下一个点与这个点组成的向量,如果AD与它的点积>0,K取下一个点更优
C点同理,点积<0
注意C是从点B开始逆时针寻找的最靠左的点
#include<cmath> #include<cstdio> #include<algorithm> #define N 100001 using namespace std; const double eps=1e-9; int dcmp(double x) { if(fabs(x)<eps) return 0; return x<0 ? -1 : 1; } struct Point { double x,y; Point(double x=0,double y=0) : x(x),y(y) { } bool operator < (Point p) const { if(!dcmp(x-p.x)) return y<p.y; return x<p.x; } bool operator == (Point p) const { return !dcmp(x-p.x) && !dcmp(y-p.y); } }; typedef Point Vector; Point P[N],C[N]; Vector operator - (Vector A,Vector B) { return Vector(A.x-B.x,A.y-B.y); } double Cross(Vector A,Vector B) { return A.x*B.y-A.y*B.x; } double Area2(Point A,Point B,Point D) { return Cross(B-A,D-A); } double Dot(Vector A,Vector B) { return A.x*B.x+A.y*B.y; } double Length(Vector A) { return sqrt(Dot(A,A)); } int ConvexHull(Point *p,int n,Point *c) { sort(p,p+n); n=unique(p,p+n)-p; int m=0; for(int i=0;i<n;++i) { while(m>1 && Cross(c[m-1]-c[m-2],p[i]-c[m-2])<=0) m--; c[m++]=p[i]; } int k=m; for(int i=n-2;i>=0;--i) { while(m>k && Cross(c[m-1]-c[m-2],p[i]-c[m-2])<=0) m--; c[m++]=p[i]; } m--; return m; } void RotatingCaliper(Point *c,int m) { double AnsArea=1e20,AnsPeri=1e20; int q=1,l=0,r=0; double d,h,w; for(int p=0;p<m;++p) { while(fabs(Cross(c[p]-c[p+1],c[q+1]-c[p+1]))>fabs(Cross(c[p]-c[p+1],c[q]-c[p+1]))) q=(q+1)%m; while(dcmp(Dot(c[p+1]-c[p],c[r+1]-c[r]))>0) r=(r+1)%m; if(!l) l=q; while(dcmp(Dot(c[p+1]-c[p],c[l+1]-c[l]))<0) l=(l+1)%m; d=Length(c[p+1]-c[p]); h=fabs(Area2(c[p],c[p+1],c[q]))/d; w=Dot(c[p+1]-c[p],c[r]-c[l])/d; AnsArea=min(AnsArea,w*h); AnsPeri=min(AnsPeri,(w+h)*2); } printf("%.2lf %.2lf\n",AnsArea,AnsPeri); } int main() { int n,m; while(1) { scanf("%d",&n); if(!n) return 0; for(int i=0;i<n;++i) scanf("%lf%lf",&P[i].x,&P[i].y); m=ConvexHull(P,n,C); RotatingCaliper(C,m); } }