NOIP2017 列队
https://www.luogu.org/problemnew/show/P3960
p<=500 50分 模拟
每个人的出队只会影响当前行和最后一列
p<=500，有用的行只有500行
所以只维护这p行和最后一列的信息
然后模拟
时间复杂度：O（p*(n+m)）
空间复杂度：O（p*m+n）
#include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; #define N 501 #define M 50001 typedef long long LL; LL pos[N][M],last[M]; struct node { int x,y; }e[N]; int h[N]; void read(int &x) { x=0; char c=getchar(); while(!isdigit(c)) c=getchar(); while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } } int main() { int n,m,q; read(n); read(m); read(q); for(int i=1;i<=q;++i) { read(e[i].x); read(e[i].y); h[i]=e[i].x; } sort(h+1,h+q+1); int tot=unique(h+1,h+q+1)-h-1; LL t; for(int i=1;i<=tot;++i) { t=(LL)(h[i]-1)*m; for(int j=1;j<=m;++j) pos[i][j]=++t; } for(int i=1;i<=n;++i) last[i]=last[i-1]+m; int nx; LL ans; for(int i=1;i<=q;++i) { nx=lower_bound(h+1,h+tot+1,e[i].x)-h; if(e[i].y==m) ans=last[h[nx]]; else ans=pos[nx][e[i].y]; cout<<ans<<'\n'; if(e[i].y!=m) { for(int j=e[i].y;j<m-1;++j) pos[nx][j]=pos[nx][j+1]; pos[nx][m-1]=last[h[nx]]; } for(int j=h[nx];j<n;++j) last[j]=last[j+1]; last[n]=ans; } }
x=1
x=1，全部的操作只涉及第一行和最后一列
用数据结构分别维护第一行A和最后一列B
每次的出队相当于查询A中的第k个元素
然后B中末尾插入一个数
当A中不足k个元素时，到B中查第k-|A|个元素
30分 线段树
A中以第i个数的值作为下标
B中以第i个数被插入到B中的顺序作为下标，另用a数组存它的值
#include<cstdio> #include<vector> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; #define N 300001 typedef long long LL; int n; int sum[N<<2]; LL a[N<<1]; int sum2[N<<3]; void read(int &x) { x=0; char c=getchar(); while(!isdigit(c)) c=getchar(); while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } } void build(int k,int l,int r) { sum[k]=r-l+1; if(l==r) return; int mid=l+r>>1; build(k<<1,l,mid); build(k<<1|1,mid+1,r); } int query(int k,int l,int r,int pos) { if(l==r) return l; int mid=l+r>>1; if(pos<=sum[k<<1]) return query(k<<1,l,mid,pos); return query(k<<1|1,mid+1,r,pos-sum[k<<1]); } void change(int k,int l,int r,int pos) { if(l==r) { sum[k]=0; return; } int mid=l+r>>1; if(pos<=mid) change(k<<1,l,mid,pos); else change(k<<1|1,mid+1,r,pos); sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1]; } void build2(int k,int l,int r) { if(l==r) { if(l<=n) sum2[k]=1; return; } int mid=l+r>>1; build2(k<<1,l,mid); build2(k<<1|1,mid+1,r); sum2[k]=sum2[k<<1]+sum2[k<<1|1]; } int query2(int k,int l,int r,int pos) { if(l==r) return l; int mid=l+r>>1; if(pos<=sum2[k<<1]) return query2(k<<1,l,mid,pos); return query2(k<<1|1,mid+1,r,pos-sum2[k<<1]); } void change2(int k,int l,int r,int pos,int w) { if(l==r) { sum2[k]=w; return; } int mid=l+r>>1; if(pos<=mid) change2(k<<1,l,mid,pos,w); else change2(k<<1|1,mid+1,r,pos,w); sum2[k]=sum2[k<<1]+sum2[k<<1|1]; } int main() { int m,q; read(n); read(m); read(q); build(1,1,m-1); int i=1; LL j=m; for(;i<=n;j+=m,++i) a[i]=j; build2(1,1,n+q); int x,y; LL ans; for(int i=1;i<=q;++i) { read(x); read(y); if(y<=sum[1]) { ans=query(1,1,m-1,y); cout<<ans<<'\n'; change(1,1,m-1,ans); change2(1,1,n+q,n+i,1); a[n+i]=ans; } else { y-=sum[1]; y=query2(1,1,n+q,y); cout<<a[y]<<'\n'; change2(1,1,n+q,y,0); change2(1,1,n+q,n+i,1); a[n+i]=a[y]; } } }
30分 树状数组
另一种求解方式，下面100分线段树方法于此类似
两个树状数组，树状数组c1维护第1行，树状数组c2一个维护最后1列
0 1 分别表示这个位置有没有数
这样就可以使用树桩数组查询第k个数
在树状数组内二分即可
用两个vector 记录后添加进树状数组中的数
开始树状数组是满的，即c1有第一行的所有数，c2有最后一列的所有数
（x，y）出队
如果y=m，那么到c2中找第1个元素t
若t<=n 输出m*x，c2的末尾加入t
否则 到对应的vector中找第 t-n-1（下标从0开始）个输出，
输出的值插入到c2的末尾
如果y!=m，到c1中找第y个元素t
若t<=m-1 输出t
否则到对应的vector中找第t-m（下标从0开始）个输出
输出的值插入到c2的末尾
#include<cstdio> #include<vector> #include<iostream> #include<algorithm> #define N 300001 using namespace std; typedef long long LL; #define lowbit(x) x&-x int n,m,q,mx; int c1[N<<1],c2[N<<1]; int siz_c1,siz_c2; vector<LL>V[2]; int l,r,mid,tmp; void read(int &x) { x=0; char c=getchar(); while(!isdigit(c)) c=getchar(); while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } } void add(int *c,int x,int w) { while(x<=mx) { c[x]+=w; x+=lowbit(x); } } int ask(int *c,int x) { int sum=0; while(x) { sum+=c[x]; x-=lowbit(x); } return sum; } LL work2(int x,LL y) { l=1; r=mx; while(l<=r) { mid=l+r>>1; if(ask(c2,mid)>=x) tmp=mid,r=mid-1; else l=mid+1; } add(c2,tmp,-1); LL ans=tmp<=n ? (LL)tmp*m : V[1][tmp-n-1]; add(c2,++siz_c2,1); V[1].push_back(y ? y : ans); return ans; } LL work1(int x,int y) { l=1; r=mx; while(l<=r) { mid=l+r>>1; if(ask(c1,mid)>=y) tmp=mid,r=mid-1; else l=mid+1; } add(c1,tmp,-1); LL ans=tmp<m ? tmp : V[0][tmp-m]; add(c1,++siz_c1,1); V[0].push_back(work2(x,ans)); return ans; } int main() { read(n); read(m); read(q); mx=max(m,n)+q; for(int i=1;i<m;++i) add(c1,i,1); for(int i=1;i<=n;++i) add(c2,i,1); siz_c1=m-1; siz_c2=n; int x,y; for(int i=1;i<=q;++i) { read(x); read(y); if(y==m) cout<<work2(x,0)<<'\n'; else cout<<work1(x,y)<<'\n'; } }
30分 splay
第一行splay0，最后一列splay1
裸地splay删除、查询k值、添加
查询（x，y）
如果y==m，splay1中找到第1个，输出，删除，加到最后面
否则，splay0中找到第y个，输出，从splay0中删除，加到splay1中；找到splay1中第1个，删除，加到splay0中
#include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; #define N 300001 typedef long long LL; LL a[N]; void read(int &x) { x=0; char c=getchar(); while(!isdigit(c)) c=getchar(); while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } } struct SPLAY { int root,tot; int fa[N<<1],ch[N<<1][2]; int siz[N<<1]; LL num[N<<1]; void build(int l,int r,int f,LL *a) { if(l>r) return; int mid=l+r>>1; fa[mid]=f; ch[f][mid>f]=mid; num[mid]=a[mid]; siz[mid]=1; build(l,mid-1,mid,a); build(mid+1,r,mid,a); siz[mid]=siz[ch[mid][0]]+siz[ch[mid][1]]+1; } void update(int x) { siz[x]=1; if(ch[x][0]) siz[x]+=siz[ch[x][0]]; if(ch[x][1]) siz[x]+=siz[ch[x][1]]; } bool getson(int x) { return ch[fa[x]][1]==x; } void rotate(int x) { int y=fa[x],z=fa[y],k=getson(x); if(y!=root) ch[z][ch[z][1]==y]=x; ch[y][k]=ch[x][k^1]; ch[x][k^1]=y; fa[x]=z; fa[y]=x; fa[ch[y][k]]=y; update(y); } void splay(int x) { for(int f;f=fa[x];rotate(x)) if(fa[f]) rotate(getson(x)==getson(f) ? f : x); update(x); root=x; } void insert_last(LL x) { if(!root) { root=++tot; num[tot]=x; siz[tot]=1; return; } int now=root; while(ch[now][1]) now=ch[now][1]; ch[now][1]=++tot; fa[tot]=now; num[tot]=x; siz[tot]=1; splay(tot); } int find_kth(int x) { int now=root; while(1) { if(siz[ch[now][0]]+1==x) return now; if(ch[now][0] && siz[ch[now][0]]>=x) { now=ch[now][0]; continue; } x-=siz[ch[now][0]]+1; now=ch[now][1]; } } int getpre() { int now=ch[root][0]; while(ch[now][1]) now=ch[now][1]; return now; } void del() { if(!ch[root][0] && !ch[root][1]) { root=0; return; } if(!ch[root][0]) { root=ch[root][1]; fa[root]=0; return; } if(!ch[root][1]) { root=ch[root][0]; fa[root]=0; return; } int pre=getpre(); int tmp=root; splay(pre); ch[root][1]=ch[tmp][1]; fa[ch[root][1]]=root; update(root); } }Splay[2]; int main() { int n,m,q; read(n); read(m); read(q); int i; LL j; for(i=1;i<m;++i) a[i]=i; Splay[0].build(1,m-1,0,a); Splay[0].tot=m-1; Splay[0].root=m>>1; for(i=1,j=m;i<=n;++i,j+=m) a[i]=j; Splay[1].build(1,n,0,a); Splay[1].tot=n; Splay[1].root=n+1>>1; int x,y; int id0,id1; for(i=1;i<=q;++i) { read(x); read(y); if(y==m) { id0=Splay[1].find_kth(1); Splay[1].splay(id0); Splay[1].del(); Splay[1].insert_last(Splay[0].num[id0]); cout<<Splay[1].num[id0]; continue; } id0=Splay[0].find_kth(y); Splay[0].splay(id0); Splay[0].del(); Splay[1].insert_last(Splay[0].num[id0]); id1=Splay[1].find_kth(x); Splay[1].splay(id1); Splay[1].del(); Splay[0].insert_last(Splay[1].num[id1]); cout<<Splay[0].num[id0]<<'\n'; } }
满分做法
与x=1的做法类似
我们只需要用n个数据结构Ai维护每一行的前m-1个
再用一个数据结构B维护最后一列即可
注意所选数据结构的空间问题
每一次查询（x，y）
如果y不是最后一列，就从Ax中找到第y个元素，记为ans，输出ans，Ax中删去ans，
把B中的第x个元素插到Ax的最后面，把ans插到B的最后面
如果y是最后一列，在B中找到第y个元素，记为ans，输出ans，B中删去ans
把ans插入到B的最后一个
100分 线段树
对于每一行维护一个线段树
显然不能提前都开满，所以动态开节点
线段树区间维护的大小固定，所以动态删除和动态添加不是很方便
所以不直接执行删除操作，不在线段树上添加
开始我们默认维护前n行m-1列的线段树中所有节点都是满的
维护最后一列的线段树也是满的
删除操作：
用sum[k]记录下k包含的这段区间删除的数的个数
这样查询时，当前区间数的个数 为区间大小-sum[k]
如果要查的数<=区间大小-sum[k] 到左孩子查
否则，查的数减去 区间大小-sum[k] ，到右孩子查
添加操作：
令开n+1个vector，存储动态添加到对应线段树里的数
查询操作：
如果y=m，
假设维护最后一列的线段树是第n+1颗
查询第n+1颗线段树里第x个值pos
若pos<=n，输出 pos*m，
否则输出第n+1个vector里第pos-n-1（下标从0开始）个元素
输出的值插入到最后一列的线段树的末尾
如果y!=m
到第x颗线段树里查询第y个数pos
若pos<=m-1，输出（x-1）*m+pos，
否则输出第x个vector里 第pos-m（下标从0开始）个元素
输出的值插入到最后一列线段树的末尾
#include<cstdio> #include<vector> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; #define N 300001 typedef long long LL; int n,m,q,mx; int tot; int root[N+1],lc[N*20],rc[N*20]; int sum[N*20]; int pos; vector<LL>V[N]; void read(int &x) { x=0; char c=getchar(); while(!isdigit(c)) c=getchar(); while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } } int query(int k,int l,int r,int w) { if(l==r) return l; int mid=l+r>>1,tmp=mid-l+1-sum[lc[k]]; if(w<=tmp) return query(lc[k],l,mid,w); return query(rc[k],mid+1,r,w-tmp); } void change(int &k,int l,int r) { if(!k) k=++tot; sum[k]++; if(l==r) return; int mid=l+r>>1; if(pos<=mid) change(lc[k],l,mid); else change(rc[k],mid+1,r); } LL work0(int x,LL y) { pos=query(root[n+1],1,mx,x); change(root[n+1],1,mx); LL ans=pos<=n ? (LL)pos*m : V[n+1][pos-n-1]; V[n+1].push_back(y ? y : ans); return ans; } LL work1(int x,int y) { pos=query(root[x],1,mx,y); change(root[x],1,mx); LL ans=pos<m ? (LL)(x-1)*m+pos : V[x][pos-m]; V[x].push_back(work0(x,ans)); return ans; } int main() { read(n); read(m); read(q); mx=max(n,m)+q; int x,y; while(q--) { read(x); read(y); if(y==m) cout<<work0(x,0)<<'\n'; else cout<<work1(x,y)<<'\n'; } }
100分 树状数组
树状数组不能动态开节点
30分树状数组做法中，树状数组的作用是查询k值
在这里我们仍然只用树状数组查询k值
我们不存储没有离队过的元素，因为知道了它一开始在第i行第j列后就可以得出它的编号是（i-1）*m+j
而会离队的元素至多只有q个
所以对于每一行的前m-1列和最后一列都开一个vector Ai，B，记录本行或最后一列补进来的编号
每次询问的（x，y）是第j个出现在第x行的数只与 这次询问之前对第x行进行的询问有关
默认原来队列中的数是第1到m个出现在本行的数
那就可以读入所有数据，离线处理
若我们能够处理出每一个查询（x，y）应该是第几个出现在第x行的数，记为pre[i]
然后按输入顺序枚举每一个询问（x，y）
若y！=m，2个操作：
1、第x行第pre[i]个数出队，到最后一列的最后一个位置，即vector B中加入第x行第pre[i]个数
2、第x行最后补上最后一列的第x个数，即vector Ax 中加入 最后一列的第x个数
若y==m，
最后一列的第x个数出队，到最后一列末尾，vector B中加入最后一列第x个数
如何得到 最后一列的第x个数？
树状数组维护最后一列，每查询一次（x，y），标记一次x
对于树状数组中查到的第x个数h，意为是第h个出现在最后一列的数
若h<=n，则为h*m
若h>m，那就是vector B 中第h-n-1（下标从0开始）个元素
如何得到第x行第pre[i]个出现的数？
若pre[i]<m，就是（x-1）*m+pre[i]
若pre[i]>=m，就是vector Ax 中 第pre[i]-m（下标从0开始）个出现的数
如何得到第i个询问（x，y）的pre[i]？
枚举每一行，
在树状数组中二分出第y个数在哪个位置
处理一个，树状数组中删一个
处理完一行之后，再把之前删的都加回来供下一行使用
这样我们就得到了每一个查询（x，y）应该是第几个出现在第x行的数
#include<cstdio> #include<vector> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; #define N 300001 typedef long long LL; #define lowbit(x) x&-x int mx; int n,m,q; struct node { int pos,id; node(int pos_=0,int id_=0) : pos(pos_),id(id_) { } }; vector<node>V[N]; vector<LL>num[N]; int c[N<<1]; int qx[N],qy[N]; int pre[N]; void read(int &x) { x=0; char c=getchar(); while(!isdigit(c)) c=getchar(); while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } } void add(int x,int w) { while(x<=mx) { c[x]+=w; x+=lowbit(x); } } int ask(int x) { int sum=0; while(x) { sum+=c[x]; x-=lowbit(x); } return sum; } int query_kth(int k) { int l=0,r=mx; int mid,tmp; while(l<=r) { mid=l+r>>1; if(ask(mid)>=k) tmp=mid,r=mid-1; else l=mid+1; } return tmp; } void init() { read(n); read(m); read(q); mx=max(n,m)+q; for(int i=1;i<=q;++i) { read(qx[i]); read(qy[i]); if(qy[i]!=m) V[qx[i]].push_back(node(qy[i],i)); } } void solve1() { for(int i=1;i<=mx;++i) add(i,1); int siz; node now; for(int i=1;i<=n;++i) { siz=V[i].size(); for(int j=0;j<siz;++j) { now=V[i][j]; pre[now.id]=query_kth(now.pos); add(pre[now.id],-1); } for(int j=0;j<siz;++j) add(pre[V[i][j].id],1); } } void solve2() { LL ans; int h; for(int i=1;i<=q;++i) { h=query_kth(qx[i]); ans= h<=n ? (LL)h*m : num[0][h-n-1]; add(h,-1); if(qy[i]!=m) { num[qx[i]].push_back(ans); ans= pre[i]<m ? LL(qx[i]-1)*m+pre[i] : num[qx[i]][pre[i]-m]; } num[0].push_back(ans); cout<<ans<<'\n'; } } int main() { init(); solve1(); solve2(); }
100分 splay
没有用到的区间都压缩成一个大节点
每一行一个splay，最后一列一个splay
刚开始每一行的前m-1列都压缩成一个点
最后一列的splay把元素填进去
与30分不同的是查询的时候需要分裂节点
#include<cstdio> #include<iostream> using namespace std; #define N 300001 typedef long long LL; int tot; int root[N]; int l[N*6],r[N*6]; int ch[N*6][2],fa[N*6],siz[N*6],key[N*6]; LL num[N*6]; int rt; LL a[N]; void read(int &x) { x=0; char c=getchar(); while(!isdigit(c)) c=getchar(); while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } } void build(int l,int r,int f) { if(l>r) return; int mid=l+r>>1; fa[mid]=f; ch[f][mid>f]=mid; key[mid]=siz[mid]=1; num[mid]=a[mid]; build(l,mid-1,mid); build(mid+1,r,mid); siz[mid]=siz[ch[mid][0]]+siz[ch[mid][1]]+1; } bool getson(int x) { return ch[fa[x]][1]==x; } void update(int x) { siz[x]=siz[ch[x][0]]+siz[ch[x][1]]+key[x]; } void rotate(int x,int &goal) { int y=fa[x],z=fa[y]; bool k=getson(x); if(y!=goal) ch[z][ch[z][1]==y]=x; else goal=x; ch[y][k]=ch[x][k^1]; ch[x][k^1]=y; fa[x]=z; fa[y]=x; fa[ch[y][k]]=y; update(y); } void splay(int x,int &goal) { int y; while(x!=goal) { y=fa[x]; if(y!=goal) rotate(getson(x)==getson(y) ? y : x,goal); rotate(x,goal); } update(x); } void split(int now,int k,int id) { if(k<=siz[ch[now][0]]) split(ch[now][0],k,id); else if(k>siz[ch[now][0]]+key[now]) split(ch[now][1],k-siz[ch[now][0]]-key[now],id); else { k-=siz[ch[now][0]]; if(k!=1) { fa[ch[++tot][0]=ch[now][0]]=tot; fa[ch[now][0]=tot]=now; key[tot]=k-1; key[now]-=k-1; l[tot]=l[now]; r[tot]=l[now]+key[tot]-1; l[now]=r[tot]+1; update(tot); } if(key[now]!=1) { fa[ch[++tot][1]=ch[now][1]]=tot; fa[ch[now][1]=tot]=now; key[tot]=key[now]-1; key[now]=1; l[tot]=l[now]+1; r[tot]=r[now]; r[now]=l[now]; update(tot); } splay(now,root[id]); } } void insert_last(int &rt,LL x) { if(!rt) { rt=++tot; l[tot]=r[tot]=key[tot]=siz[tot]=1; num[tot]=x; return; } int now=rt; while(ch[now][1]) now=ch[now][1]; fa[++tot]=now; ch[now][1]=tot; l[tot]=r[tot]=key[tot]=siz[tot]=1; num[tot]=x; splay(tot,rt); } int find_kth(int now,int x) { while(1) { if(x<=siz[ch[now][0]]) { now=ch[now][0]; continue; } x-=siz[ch[now][0]]; if(x==1) return now; x--; now=ch[now][1]; } } int find_pre(int rt) { int now=ch[rt][0]; while(ch[now][1]) now=ch[now][1]; return now; } void del(int &rt) { if(!ch[rt][0] && !ch[rt][1]) { rt=0; return; } if(!ch[rt][0]) { rt=ch[rt][1]; return; } if(!ch[rt][1]) { rt=ch[rt][0]; return; } int pre=find_pre(rt); int tmp=rt; splay(pre,rt); ch[rt][1]=ch[tmp][1]; fa[ch[rt][1]]=rt; update(rt); } int main() { int n,m,q; read(n); read(m); read(q); int i; LL j; for(i=1,j=m;i<=n;++i,j+=m) a[i]=j; build(1,n,0); tot=n; root[0]=n+1>>1; for(int i=1;i<=n;++i) { root[i]=++tot; siz[tot]=m-1; key[tot]=m-1; l[tot]=1; r[tot]=m-1; } int x,y; LL ans; int tmp; while(q--) { read(x); read(y); tmp=find_kth(root[0],x); splay(tmp,root[0]); del(root[0]); if(y!=m) { split(root[x],y,x); ans=num[root[x]] ? num[root[x]] : (LL)(x-1)*m+l[root[x]]; del(root[x]); insert_last(root[0],ans); insert_last(root[x],num[tmp]); } else { ans=num[tmp]; insert_last(root[0],ans); } cout<<ans<<'\n'; } }
