高斯消元法解整数（同余）线性方程组模板（含无解、无穷解的判断）
解整数线性方程组
整数线性方程组，即求出变量全是整数的一组解
转载自
http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6880199.html
/* 用于求整数解得方程组. */ #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> #include <string> #include <cmath> using namespace std; const int maxn = 105; int equ, var; // 有equ个方程，var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1，列数为var + 1，分别为0到var. int a[maxn][maxn]; int x[maxn]; // 解集. bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元. int free_num; inline int gcd(int a, int b) { int t; while (b != 0) { t = b; b = a % b; a = t; } return a; } inline int lcm(int a, int b) { return a * b / gcd(a, b); } // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数) int Gauss(void) { int i, j, k; int max_r; // 当前这列绝对值最大的行. int col; // 当前处理的列. int ta, tb; int LCM; int temp; int free_x_num; int free_index; // 转换为阶梯阵. col = 0; // 当前处理的列. for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++) { // 枚举当前处理的行. // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差) max_r = k; for (i = k + 1; i < equ; i++) { if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i; } if (max_r != k) { // 与第k行交换. for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]); } if (a[k][col] == 0) { // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列. k--; continue; } for (i = k + 1; i < equ; i++) { // 枚举要删去的行. if (a[i][col] != 0) { LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col])); ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]); if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加. for (j = col; j < var + 1; j++) { a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;//既消元，又通分 } } } } // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0). for (i = k; i < equ; i++) { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换. if (a[i][col] != 0) return -1; } // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵. // 且出现的行数即为自由变元的个数. if (k < var) { // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个. for (i = k - 1; i >= 0; i--) { // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行. // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的. free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元. for (j = 0; j < var; j++) { if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j; } if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元. // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的. temp = a[i][var]; for (j = 0; j < var; j++) { if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j]; } x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元. free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的. } return var - k; // 自由变元有var - k个. } // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵. // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0. for (i = var - 1; i >= 0; i--) { temp = a[i][var]; for (j = i + 1; j < var; j++) { if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j]; } if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解. x[i] = temp / a[i][i]; } return 0; } int main(void) { int i,j; while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF) { memset(a, 0, sizeof(a)); memset(x, 0, sizeof(x)); memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元. for (i = 0; i < equ; i++) { for (j = 0; j < var + 1; j++) { scanf("%d", &a[i][j]); } } free_num = Gauss(); if (free_num == -1) printf("无解!\n"); else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n"); else if (free_num > 0) { printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num); for (i = 0; i < var; i++) { if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1); else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]); } } else { for (i = 0; i < var; i++) { printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]); } } printf("\n"); } return 0; }
解整数同余线性方程组
同上，只需要注意取模，乘逆元即可
int gauss() { int equ=n,var=m; int i,j,k; int max_r,col; int ta,tb,lcm; int tmp; for(k=0,col=0;k<equ && col<var;++k,++col) { max_r=k; for(i=k+1;i<equ;++i) if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i; if(!a[max_r][col]) { --k; continue; } if(k!=max_r) for(j=col;j<var+1;++j) swap(a[k][j],a[max_r][j]); for(i=k+1;i<equ;++i) if(a[i][col]) { lcm=getlcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col])); ta=lcm/abs(a[i][col]); tb=lcm/abs(a[k][col]); if(a[i][col]*a[k][col]<0) tb=-tb; for(j=col;j<var+1;++j) a[i][j]=((a[i][j]*ta-a[k][j]*tb)%mod+mod)%mod; } } for(int i=k;i<equ;++i) if(a[i][var]) return -1; if(k<var) return var-k; for(int i=var-1;i>=0;--i) { tmp=a[i][var]; for(j=i+1;j<var;++j) if(a[i][j]) { tmp-=a[i][j]*x[j]; tmp=(tmp%mod+mod)%mod; } x[i]=tmp*inv[a[i][i]]%mod; } return 0; }
