学大伟业 国庆Day2
期望得分：30+100+0=130
实际得分：30+100+20=150
忍者钩爪
(ninja.pas/c/cpp)
【问题描述】
小Q是一名酷爱钩爪的忍者，最喜欢飞檐走壁的感觉，有一天小Q发现一个练习使用钩爪的好地方，决定在这里大显身手。
场景的天花板可以被描述为一个无穷长的数轴，初始小Q挂在原点上。数轴上有N个坐标为整数的圆环供小Q实现钩爪移动。具体操作为：小Q可以将钩爪挂到圆环上，进而荡到关于圆环坐标轴对称的位置。例如小Q在3，圆环在7，则小Q可以通过该圆环移动到11。
现在一个问题难倒了小Q，如何判断自己能否到达某个整点呢？
【输入格式】
第一行两个整数N,M，表示圆环的数量和询问组数
接下来一行共N个整数描述每个圆环的坐标(可重复)
接下来M行每行包含一个整数描述询问
【输出格式】
共M行对应M个询问，若小Q能移动到目标点，输出Yes，否则输出No
题解（不是我的，所以有问题不要问我）：
对于30%的分数
可以使用暴力记忆化搜索得出答案。即维护每个坐标是否可达，继而进行搜索。
对于60%的分数
通过观察可知设当前坐标为x，则通过坐标为a的圆环可移动到2a-x处。连续通过两个圆环(a,b)可以移动到x+(2b-2a)处。
先以移动步数为偶数情况考虑简化版问题：设圆环坐标为a[1]~a[n]，对于任意两个圆环，可由坐标x变为x+2(a[j]-a[i])，题目转化为对于N^2个数其中b[i,j]=2(a[j]-a[i])，通过有限次加减运算能否由x=0变化至目标。
根据广义裴蜀定理以及扩展欧几里得相关原理可知，当且仅当目标为gcd的倍数时有解。故预处理出全部可能的2(a[j]-a[i])，求出其最大公约数，在判断目标是否为gcd的倍数即可。
对于奇数的情况，可以通过枚举第一步的方案转化为偶数的情况，即维护一个set表示0步或1步可达点集(mod gcd意义下)，再查询目标点在mod gcd下是否属于这个集合即可。复杂度瓶颈在于N^2个数求gcd。
对于100%的分数
通过欧几里得算法的性质与更相减损术可知gcd(a,b)=gcd(a-b,b)。设p1={2*(a[i]-a[1])|i>1}的最大公约数，设p2={2*(a[i]-a[j])}的最大公约数，易知p1>=p2（因为p1比p2约束宽松）。而对于任意i,j由于p1同时是2*(a[i]-a[1])、2*(a[j]-a[1])的约束，那么p1也一定是任意2*(a[i]-a[1])-2*(a[j]-a[1])=2*(a[i]-a[j])的约数，故p1<=p2。综上所述p1=p2，这样就不需要N^2个数同时求gcd了，只求p1即可，可获得满分。
#include<set> #include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long LL; #define N 100001 LL a[N]; set<LL>S; void read(LL &x) { x=0; int f=1; char c=getchar(); while(!isdigit(c)) { if(c=='-') f=-1; c=getchar(); } while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } x*=f; } LL getgcd(LL i,LL j) { return !j ? i : getgcd(j,i%j); } int main() { freopen("ninja.in","r",stdin); freopen("ninja.out","w",stdout); int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]); LL gcd=0; for(int i=2;i<=n;i++) gcd=getgcd(abs(a[i]-a[1]<<1),gcd); LL x; if(gcd) { S.insert(0); for(int i=1;i<=n;i++) S.insert((2*a[i]%gcd+gcd)%gcd); while(m--) { read(x); puts(S.find((x%gcd+gcd)%gcd)!=S.end() ? "Yes" : "No"); } } else { while(m--) { read(x); puts(x==a[1]*2 ? "Yes" : "No"); } } }
30暴力
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; int tmp[11]; int n,a[100001]; bool ok[20005]; void judge() { int cnt1=0,cnt2=0; for(int i=1;i<=n;i++) if(tmp[i]==1) cnt1++; else if(tmp[i]==-1) cnt2++; if(cnt1==cnt2 || cnt1==cnt2+1) { int t=0; for(int i=1;i<=n;i++) t+=tmp[i]*a[i]; ok[t]=true; } } void dfs(int now) { if(now==n+1) { judge(); return; } tmp[now]=0; dfs(now+1); tmp[now]=1; dfs(now+1); tmp[now]=-1; dfs(now+1); } int main() { freopen("ninja.in","r",stdin); freopen("ninja.out","w",stdout); int m; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); int x; if(n<=10) { dfs(1); for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d",&x); if(x&1) puts("No"); else puts(ok[x>>1] ? "Yes" : "No"); } } else { sort(a+1,a+n+1); long long maxn=0,minn; int mid=n/2; if(mid==n*2) { for(int i=1;i<=mid;i++) maxn+=a[mid+i]-a[i]; } else { for(int i=1;i<=mid;i++) maxn+=a[mid+i+1]-a[i]; maxn+=a[mid+1]; } minn=-maxn; for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d",&x); if(x&1) puts("Yes"); else if(x>maxn || x<minn) puts("No"); else puts("Yes"); } } }
线段树
先下放取反标记，在下方加标记
下放取反标记时，若存在加标记，加标记也取反
关键是如何处理加标记的影响
设当前线段树区间有4个数x1，x2，x3，x4
sum[i] 表示 选出i个数的乘积 的和
sum[1]=x1+x2+x3+x4
sum[2]=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4
sum[3]=x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4
sum[4]=x1x2x3x4
操作：区间加a
以sum[3]为例
新的sum[3]=
(x1+a)(x2+a)(x3+a) +
(x1+a)(x2+a)(x4+a) +
(x1+a)(x3+a)(x4+a) +
(x2+a)(x3+a)(x4+a)
=x1x2x3+a(x1x2+x1x3+x2x3)+a^2(x1+x2+x3)+a^3 +
x1x2x4+a(x1x2+x1x4+x2x4)+a^2(x1+x2+x4)+a^3 +
x1x3x4+a(x1x3+x1x4+x3x4)+a^2(x1+x3+x4)+a^3 +
x2x3x4+a(x2x3+x2x4+x3x4)+a^2(x2+x3+x4)+a^3
=sum[3] + a*sum[2]*2 + a^2*sum[1]*3 + a^4
所以 对有siz个元素的区间执行区间加a操作
那么sum[]的更新：
for i： 10 ——> 1
for j：i-1——>1
sum[i]+=a^(i-j)*sum[j]*C(siz-j,i-j)
解释：
有i个（xi+a）相乘
从里面选出j个xi，那就只能选i-j个a
后面那个组合数？
一共有siz个（xi+a） ，已经确定了有j个（xi+a）选择xi
一共要选i个（xi+a），那就要从剩下的siz-j个（xi+a）里选出 i-j个（xi+a）来用他们的a
所以是C（siz-j，i-j）
区间的合并
枚举左边选j个，那右边就选i-j个，乘起来就行了
例：
假设当前要选3个数
左边有2个数x1，x2 选1个，
右边有3个数x3，x4，x5 选2个
那就是 x1*x3*x4+x1*x3*x5+x1*x4*x5+x2*x3*x4+x2*x3*x5+x2*x4*x5
=x1*右边的sum[2]+x2*右边的sum[2]
=左边的sum[1] * 右边的sum[2]
#include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; #define N 50001 const int mod=1e9+7; typedef long long LL; int n; int C[N][11]; int f[N<<2]; int siz[N<<2],mid[N<<2]; bool rev[N<<2]; struct node { int sum[11]; }ans[N<<2]; void read(int &x) { x=0; int ff=1; char c=getchar(); while(!isdigit(c)) { if(c=='-') ff=-1; c=getchar(); } while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } x*=ff; } int tot=0; void MOD(int &a,int b) { a+=b; a-= a>=mod ? mod : 0; } void pre(int n) { C[0][0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) { C[i][0]=1; for(int j=1;j<=min(i,10);j++) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod; } } void update(int k) { for(int i=1;i<=10;i++) { ans[k].sum[i]=0; for(int j=1;j<i;j++) MOD(ans[k].sum[i],1ll*ans[k<<1].sum[j]*ans[k<<1|1].sum[i-j]%mod); MOD(ans[k].sum[i],ans[k<<1].sum[i]); MOD(ans[k].sum[i],ans[k<<1|1].sum[i]); } } void build(int k,int l,int r) { siz[k]=r-l+1; if(l==r) { read(ans[k].sum[1]); MOD(ans[k].sum[1],0); return; } mid[k]=l+r>>1; build(k<<1,l,mid[k]); build(k<<1|1,mid[k]+1,r); update(k); } void insert(int k,int w) { MOD(f[k],w); for(int i=10;i;i--) { int x=w; for(int j=i-1;j;j--,x=1ll*x*w%mod) MOD(ans[k].sum[i],1ll*x*ans[k].sum[j]%mod*C[siz[k]-j][i-j]%mod); MOD(ans[k].sum[i],1ll*x*C[siz[k]][i]%mod); } } void turn(int k) { rev[k]^=1; if(f[k]) f[k]=mod-f[k]; for(int i=9;i>0;i-=2) if(ans[k].sum[i]) ans[k].sum[i]=mod-ans[k].sum[i]; } void down(int k) { if(rev[k]) turn(k<<1),turn(k<<1|1),rev[k]=0; if(f[k]) insert(k<<1,f[k]),insert(k<<1|1,f[k]),f[k]=0; } void add(int k,int l,int r,int opl,int opr,int w) { if(l>=opl && r<=opr) { insert(k,w); return; } down(k); if(opl<=mid[k]) add(k<<1,l,mid[k],opl,opr,w); if(opr>mid[k]) add(k<<1|1,mid[k]+1,r,opl,opr,w); update(k); } void reverse(int k,int l,int r,int opl,int opr) { if(l>=opl && r<=opr) { turn(k); return; } down(k); if(opl<=mid[k]) reverse(k<<1,l,mid[k],opl,opr); if(opr>mid[k]) reverse(k<<1|1,mid[k]+1,r,opl,opr); update(k); } node query(int k,int l,int r,int opl,int opr,int w) { if(l>=opl && r<=opr) return ans[k]; down(k); if(opr<=mid[k]) return query(k<<1,l,mid[k],opl,opr,w); else if(opl>mid[k]) return query(k<<1|1,mid[k]+1,r,opl,opr,w); else { node L=query(k<<1,l,mid[k],opl,opr,w),R=query(k<<1|1,mid[k]+1,r,opl,opr,w); node tmp; for(int i=1;i<=w;i++) { tmp.sum[i]=(L.sum[i]+R.sum[i])%mod; for(int j=1;j<i;j++) MOD(tmp.sum[i],1ll*L.sum[j]*R.sum[i-j]%mod); } return tmp; } } int main() { freopen("game.in","r",stdin); freopen("game.out","w",stdout); int n,m; read(n); read(m); pre(n); build(1,1,n); int ty,l,r,w; while(m--) { read(ty); read(l); read(r); if(ty==1) { read(w); w%=mod; w+= w<0 ? mod : 0; add(1,1,n,l,r,w); } else if(ty==2) reverse(1,1,n,l,r); else { read(w); node p=query(1,1,n,l,r,w); printf("%d\n",query(1,1,n,l,r,w).sum[w]); } } }
GG
20分暴力
#include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; int n,N,d; double a[17][17],b[177150]; int ty[17],tmp[11],bit[11]; double ans; void init() { scanf("%d%d",&n,&N); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%lf",&a[i][j]); scanf("%d",&d); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&ty[i]); } void add(double may) { int t=0; for(int i=1;i<=N;i++) t+=tmp[i]*bit[i-1]; b[t]+=may; } void dfs(int tim,int now,double may) { if(tim==N+1) { add(may); return; } for(int i=1;i<=n;i++) { tmp[tim]=ty[i]; dfs(tim+1,i,may*a[now][i]); } } int main() { freopen("walk.in","r",stdin); freopen("walk.out","w",stdout); init(); tmp[1]=ty[1]; bit[0]=1; for(int i=1;i<=N;i++) bit[i]=bit[i-1]*3; dfs(2,1,1.0); int tot=pow(3,N); for(int i=0;i<tot;i++) ans+=b[i]*b[i]; printf("%.9lf",ans); }
