洛谷 P1306 斐波那契公约数

https://www.luogu.org/problem/show?pid=1306

题目描述

对于Fibonacci数列：1,1,2,3,5,8,13......大家应该很熟悉吧~~~但是现在有一个很“简单”问题：第n项和第m项的最大公约数是多少？

输入输出格式

输入格式：

 

两个正整数n和m。（n,m<=10^9）

注意：数据很大

 

输出格式：

 

Fn和Fm的最大公约数。

由于看了大数字就头晕，所以只要输出最后的8位数字就可以了。

 

输入输出样例

输入样例#1：

4 7

输出样例#1：

1

说明

用递归&递推会超时

用通项公式也会超时

 

令 f[n]=a,f[n+1]=b

f[n+2]=a+b

f[n+3]=a+2b

f[n+4]=2a+3b

……

f[m]=f[m-n-1]*a+f[m-n]*b

由欧几里得定理得：gcd（a，b）=gcd（a，b%a）

所以gcd（f[n],f[m]）

=gcd（f[n],f[m]%f[n]）

=gcd（f[n],f[m-n]*b）

=gcd（a,f[m-n]*b）

因为gcd（a，b）=1

所以上式

=gcd（a，f[m-n]）

=gcd（f[n],f[m-n]）

递归，所以上式

=gcd（f[n],f[m%n]）

所以gcd（f[n],f[m]）=f[gcd（n，m）]

 

矩阵乘法优化

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL t[2][2],ans[2][2],r[2][2];
const int mod=1e8;
int gcd(int a,int b)
{
    return !b ? a : gcd(b,a%b);
}
void mul(LL a[2][2],LL b[2][2])
{
    memset(r,0,sizeof(r));
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
            for(int k=0;k<2;k++)
                r[i][j]+=a[i][k]*b[k][j],r[i][j]%=mod;
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
            a[i][j]=r[i][j];
}
int main()
{
    int a,b;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    int p=gcd(a,b);
    t[0][0]=t[0][1]=t[1][0]=1;;
    ans[0][0]=ans[0][1]=1;
    if(p==2 || p==1) { printf("1"); return 0; }
    p-=2;
    while(p)
    {
        if(p&1) mul(ans,t);
        mul(t,t); p>>=1;
    }
    printf("%lld",ans[0][0]);
}