2017.3.29组合数学学习——帕斯卡三角形、二项式定理

帕斯卡三角形（杨辉三角）
n\k  0   1   2   3   4   5   6   7    8
0     1
1     1   1
2     1   2   1
3 　 1   3   3   1
4 　 1   4   6   4   1
5 　 1   5   10 10  5   1
6 　 1   6   15 20 15  6   1
7 　 1   7   21 35 35 21  7   1
8 　 1   8   28 56 70 56  28  8   1

联想组合数里的几个公式，都可以从帕斯卡三角形里得出
C（n，0）=1
C（n，n）=1
C（n，k）=C（n，n-k） 对称
C（n，0）+C（n，1）+……+C（n，n）=2^n 一行数相加
C（n，k）=C（n-1，k）+C（n-1，k-1） 帕斯卡公式
在k=1列上，C（n，1）=n是计数数
在k=2列上，C（n，2）=n（n-1）/2 是三角形数
在k=3列上，C（n，3）=n（n-1）（n-2）/ 3! 是四面体数

定义p（n，k）为从左上角的项 即C（0,0）项 到 C（n，k）的路径的数目，
其中在每一条路径上，只能往正下方或右下方走
对于0 <= k <= n 的整数n和k，有p（n，k）=C（n，k）

二项式定理
定理：设n是正整数。对所有的x和y，有
（x+y）^n=x^n + C（n,1）x^(n-1) y + C（n,2）x^(n-2) y^2 + …… + C（n,n-1）x y^(n-1) + y^n

即    n
      Σ C（n，k）x^(n-k) y^k
     k=0