2017.3.29组合数学学习——鸽巢原理

定理：把n+1个物体放入n个盒子，至少有一个盒子包含两个或更多的物体

 

应用1:13个人中存在2个人，他们的生日在同一月份里

 

不懂。。。。。。

 

应用2：给定m个整数，a1，a2，a3……am，存在满足0<=k<l<=m的整数k和l，
使得ak+1+ak+2+……+al能被m整除。
也就是说在序列a1，a2，a3……am中，存在连续的a，这些a的和能被m整除
证明：
令s1=a1，s2=a1+a2，s3=a1+a2+a3，……sm=a1+a2+a3+……+am
若s中有一个si能被m整除，则结论成立
假设所有的si都不能被m整除，那么si除以m的余数有1，2，……m-1 ，共m-1种，
一共有m个si，m-1种余数，由鸽巢原理得，必有两个si余数相同
设他们为sk，sl，余数为r，则
sk=a1+a2+……ak=pm+r，sl=a1+a2+……al=qm+r
sl-sk=(ak+1)+(ak+2)+……+al=（q-p）m
证毕

 

例1：一位国际象棋大师有11周的时间备战一场锦标赛，他决定每天至少下一盘棋，但每周不能下超过12盘棋。证明存在若干天，期间这位大师恰好下了21盘棋
证明：
设ai为前i天下的盘数，那么ai是严格递增的
∵a1>=1,11周最多下11*12=132盘
∴1 <= a1 < a2 < a3 …… < a77 <= 132
∴1+21=22 <= a1+21 < a2+21 < a3+21 …… < a77+21 <= 132+21=153
所以154个数 a1，a2……am，a1+21，a2+21……am+21 都是1到153之间的整数
所以必有两个数相等
因为ai中不存在相等的数，ai+21中不存在相等的数
∴必有ai=aj+21
所以第j+1到第i天共下了21盘棋

 

例2：在整数1,2，……200中选101个数。
证明在所选的整数之间存在2个这样的整数，其中一个可被另一个整除
证明：
任意一个整数可以写成2^k*a的形式，k>=0，a是奇数
所以对于1到200之间的整数，a有100个选择（1,3，5……199）
所以在选的101个数里，必有两个数的a相同
令这两个数为2^p*a,2^q*a
这就很显然了
同时，也能证明，一定可以选100个数，使得其中没有一个能被另一个整除

 

应用3：中国剩余定理
设m和n是互素的正整数，并设a和b为整数，其中0 <= a < m,0 <= b < m.
于是，存在正整数x，使得x除以m的余数为a，并且除以n的余数为b