2017.3.24组合数学学习——容斥原理

容斥原理

定理：
设P1、P2、…、Pm是S的对象所涉及的m个性质，
并设Ai={x：x属于S且x具有性质Pi} （1<=i<=m）是S的具有性质Pi的对象构成的子集
那么不具有性质P1，P2，…Pm的对象个数=
|S|-Σ|Ai|+Σ|Ai∩Aj|-Σ|Ai∩Aj∩Ak|+…+（-1）^m|A1∩A2∩…∩Am|
一般情况下，此式的项数为
C（m，0）+C（m，1）+C（m，2）+…+C（m，m）=2^m

推论：
集合S中至少具有性质P1、P2、…、Pm之一的对象个数为
Σ|Ai|-Σ|Ai∩Aj|+Σ|Ai∩Aj∩Ak|-……+（-1）……（m+1）|A1∩A2∩…∩Am|
证明：
集合S中至少具有性质P1、P2、…、Pm之一的对象个数
= 集合S-集合S中不具有性质P1，P2，…Pm的对象个数
= |S|-（|S|-Σ|Ai|+Σ|Ai∩Aj|-Σ|Ai∩Aj∩Ak|+…+（-1）^m|A1∩A2∩…∩Am|）
= Σ|Ai|-Σ|Ai∩Aj|+Σ|Ai∩Aj∩Ak|-……+（-1）……（m+1）|A1∩A2∩…∩Am|

例1：求M,A,T,H,I,S,F,U,N的排列中有多少排列使得单词 MATH,IS,FUN 都不作为连续字母出现在排列中
解：
1、|S|=9！
2、把MATH看成一个符号，集合S有6个元素，MATH,I,S,F,U,N 6!
同理，把IS,FUN看为一个符号 分别为 8！， 7！
3、A1∩A2 ：MATH,IS,F,U,N 5个元素 5！
同理，A1∩A3，A2∩A3 分别为 4！ 6！
4、A1∩A2∩A3：MATH,IS,FUN 3个元素 3！
∴ans=9！-6！-8！-7！+5！+4！+6！-3！
错解：
A1∩A2指的是集合MATH,IS,F,U,N ，不是集合 MATHIS,F,U,N

容斥原理的特殊情况：
假设在容斥原理中出现的集合A1∩A2∩A3∩…∩Ak的大小仅依赖k，而不依赖在交集中使用了哪k个集合，
那么存在常数a0，a1，a2,…，am使得
a0=|S|
a1=|A1|=|A2|=…=|Am|
a2=|A1∩A2|=……=|Am-1∩Am|
a3=|A1∩A2∩A3=……Am-2∩Am-1∩Am|
……
am=|A1∩A2∩A3∩……∩Am|
在这种情况下，容斥原理可以化简为
a0-C（m,1）*a1 + C（m，2）*a2 - C（m，3）*a3 +…+（-1）^m *C（m，m）am

注：例1不符合这种情况，因为与所选集合的字母数量有关，即依赖于在交集中使用了哪k个集合

由k种不同对象且每种对象具有无限重复数的多重集合的r组合个数=C（r+k-1，r）
那么如果是有限重复数呢？

例：确定多重集合T={3*a，4*b，5*c}的10组合数目
设集合S为集合W={∞*a，∞*b，∞*c}的10组合
设性质P1为W的10组合中，a出现>3次，P2为W的10组合中，b出现>4次，P3为W的10组合中，c出现>5次
那么ans=不具有性质P1P2P3的10组合的集合大小
|S|=C（10+3-1，10）
集合A1为W的10组合中，a至少出现4次的组合组成的。集合A1可以看做，集合W的6组合加入4的a，
所以|A1|=W的6组合数目=C（6+3-1,6）
同理，|A2|=C（5+3-1,5），|A2|=C（4+3-1,4）
集合A1∩A2是W的10组合中，a至少出现4次，b至少出现5次的集合组成的。可以看做集合W的1组合+4个a+5个b
所以|A1∩A2|=C（1+3-1,1）
同理，|A1∩A3|=C（0+3-1,0） |A2∩A3|=0
|A1∩A2∩A3|=0
把这些结果放到容斥原理中即可得出答案