2017.3.9 组合数学学习——组合、多重集排列

集合的组合（子集）：
定理：n元素的r子集数目C（n，r）=n！/[r!*(n-r)!]
即C（n，r）=p（n，r）/r!
证明：
排列可看做由以下两部分组成：
①、从n中选出r个元素=C（n，r）
②、一某种顺序摆放r个元素=p（r，r）=r!
∴C（n，r）=p（n,r）/r!
例：如果每个词包含3，4，或5个元音，那么用26个字母可以构造多少8字母单词？字母使用次数无限制
解：1、考虑含有3个元音：
①选定元音占据的位置有C（8,3）种选法
②元音的位置可以有5^3种方式填充，辅音位置有21^5种方式填充
③总方案为 C（8,3）*5^3*21^5
2、同理，4个元音 C（8，4）*5^4*21^4
5个元音 C（8,5）*5^5*21^3
注意本题字母没有使用限制，所以不能用集合解
推论：对于0<=r<=n,有 C（n,r）=C（n,n-r）
定理：帕斯卡公式 对于所有1<=k<=n-1 ，整数n，k，
有C（n，k）=C（n-1，k）+C（n-1，k-1）
证明：设X为n的k子集，把X划分为A（不包含元素x）和B（包含元素x）
设S\{x}是n中除去x的集合
由加法原理得：|X|=|A|+|B|
A 中=X除去x的n-1个元素的k子集 ∴|A|=C（n-1，k）
B 中=把元素x加到 S\{x}的（k-1）子集得到 ∴B=C（n-1，k-1）
得证
定理：对于n>=0 有 C（n，0）+C（n，1）+C（n，2）+……+C（n，n）=2^n
且这个共同值=n元素集合的子集数量
证明：
n元素集合S的子集数量可以看做 S的0子集数量+S的1子集数量+S的2子集数量+……+S的n子集数量
还可以这样考虑：对于S中的每一个元素x，都有进入这个集合和不进入这个集合2种选择，所以=2^n
得证
思想：“双计数”： 欲证明a=b，证a=c&&b=c 所以a=b
例：
前n个正整数集合 {1,2,3……n}的2子集数量为C（n，2）
根据这些2子集包含的最大整数对他们进行划分
对每一个i，以i为最大数的2子集数量为i-1
所以0+1+2+……+n-1=C（n，2）=n（n-1）/2
多重集合的排列
定理：设S是由k种不同类型对象的多重集合，每一个元素都有无限重复数。那么，S的r排列数目是k^r