浅谈splay（点的操作）
浅谈splay（点的操作）
一、基本概念
splay本质：二叉查找树
特点：结点x的左子树权值都小于x的权值，右子树权值都大于x的权值
维护信息：
整棵树：root 当前根节点 sz书上所有结点编号
结点：f[] 父节点编号 ch[][2] 孩子结点编号，0左1右
siz[] 以结点为根的子树大小（包括自己） cnt[]自己出现的次数
key[] 结点权值
二、基本操作
插入insert、删除del、查询x的排名findpos、查询排名为x的数findx、查找前驱pre、查找后继nex
核心操作：伸展操作splay
part 1：这么多操作难免会更改节点信息，我们先思考如何维护这些信息
siz，cnt 可以这样维护
void update(int x) { siz[x]=cnt[x]; if(ch[x][0]) siz[x]+=siz[ch[x][0]]; if(ch[x][1]) siz[x]+=siz[ch[x][1]]; }
f，ch，root 要在splay操作中修改
splay操作：就是讲结点x不断旋转至根节点
旋转过程谁成为谁的左右孩子，自己根据大小关系判断总结即可
旋转代码：
int getson(int x) { return ch[f[x]][1]==x; } void rotate(int x) { int fa=f[x],fafa=f[fa],k=getson(x); ch[fa][k]=ch[x][k^1];f[ch[fa][k]]=fa;//对应蓝色线，调整x另一方向的孩子和x父节点的关系 ch[x][k^1]=fa;f[fa]=x;//对应红色线 ，调整x和父节点的关系 f[x]=fafa; if(fafa) ch[fafa][ch[fafa][1]==fa]=x;//对应紫色线 ，调整x和父节点的父节点的关系 update(fa);update(x); }
小细节：为什么先update(fa),再update（x） ，因为旋转前，fa是x的父节点，经旋转后，fa变为x的孩子节点，update操作是根据左右孩子子树大小更新的
调用：（双旋） 个人对于双旋的一点理解：http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6372344.html
void splay(int x) { for(int fa;fa=f[x];rotate(x)) if(f[fa]) rotate(getson(x)==getson(fa) ? fa :x); root=x; }
小细节：fa=f[x]，1、每执行一次旋转，更新一次da 2、fa==true时才进行
part 2：
A、插入数x insert（int x）
分为3种情况
1、树为空，直接插入x，并让x成为根节点
2、树不为空 ①树中已有x，x出现次数+1，以x为根的子树大小+1，旋转x至根节点
②树中没有x，在适当位置插入x，旋转x至根节点
void create(int x) { sz++;key[sz]=x; cnt[sz]=siz[sz]=1; ch[sz][0]=ch[sz][1]=f[sz]=0; } void insert(int x)//插入结点x { if(!root) create(x),root=sz;//splay为空 else { int now=root,fa=0; while(1) { if(key[now]==x)//树中有x { cnt[now]++;
siz[now]++; splay(now); break; } fa=now; now=ch[fa][x>key[fa]]; if(!now) { create(x); f[sz]=fa; ch[fa][x>key[fa]]=sz; splay(sz); break; } } } }
小细节：为什么要splay？仅仅是插入不是插进去就行吗？成不成为根节点有什么关系？
这是为了查找比x小/大的第一个数做铺垫，因为有可能x在树中没有出现过，所以先插入x，再找前驱/后继，这就可以直接从根节点找起，不用再找一次x的位置，最后删除x
（下面的E、F）
B、查询排名为x的数（从小到大）
记得平衡树怎么查找第k小吗？——如果左子树大小<k，找左孩子，否则找右孩子。
类比一下可以得出
1、如果x<当前点左子树大小，找左孩子，这里注意一个小细节是要先判断当前点是否有左孩子
2、否则 定义变量temp=当前结点出现次数+结点左子树大小
①、如果x<=temp 那么这个结点就是答案
因为既然x>=当前点左子树大小，那么他要么是当前点，要么在当前点的右子树
又因为x<=当前点+左子树大小+当前点出现次数，那么他是当前点
②、如果x>temp 那么x减去temp，找右孩子
int findx(int x) { int now=root; while(1) { if(ch[now][0]&&x<=siz[ch[now][0]]) now=ch[now][0];//千万不要漏了ch[now][0]==true else { int temp=(ch[now][0] ? siz[ch[now][0]] : 0)+cnt[now]; if(x<=temp) return key[now]; x-=temp; now=ch[now][1]; } } }
C、查询x的排名
想想splay本质是二叉查找树，不难得出
1、如果x<当前节点权值 查找左孩子
2、否则 ，先令ans加上当前节点左子树大小
①、如果x=当前节点权值，旋转当前节点至根节点，返回ans+1
因为此时ans不包括当前节点，所以要+1
②、如果x>当前节点权值，ans加上当前节点出现次数，查找右孩子
int findpos(int x) { int now=root,ans=0; while(1) { if(x<key[now]) now=ch[now][0]; else { ans+=ch[now][0] ? siz[ch[now][0]] : 0; if(x==key[now]) { splay(now); return ans+1; } ans+=cnt[now]; now=ch[now][1]; } } }
小细节：为什么要splay？
为了下面的删除操作做铺垫，删除数x需要先找到x的位置，删除操作是在x是根节点的基础上进行的（下面的F）
D、查找比x小的第一个数
这就有2种可能：x在树中，x不在树中
x在树中就是查找x的前驱，那么不在树中呢?
我们可以向在树中插入x，在查找前驱，最后再删除x
如何查找前驱? 转向x的左孩子l，然后在l的子树里一直往右找
调用代码：
insert(x);printf("%d\n",key[pre()]);del(x);break;
查找前驱代码：
int pre() { int now=ch[root][0]; while(ch[now][1]) now=ch[now][1]; return now; }
E、查询比x大的第一个数
同理D
直接给代码
insert(x);printf("%d\n",key[nex()]);del(x);break;
int nex() { int now=ch[root][1]; while(ch[now][0]) now=ch[now][0]; return now; }
F、删除数x
分为5种情况
首先，你要先找到x在哪儿，将其旋转至根节点，这里可以直接调用findpos函数
然后，分类讨论（此时根节点就是数x，所以此后操作变为删除根节点）
删除：结点所有信息清0即可
void clear(int x) { ch[x][0]=ch[x][1]=cnt[x]=siz[x]=f[x]=key[x]=0; }
1、根节点在splay树中出现次数>1 根节点的出现次数-1，子树大小-1
if(cnt[root]>1) { cnt[root]--;siz[root]--; return; }
2、否则 ① 根节点既没有左孩子又没有右孩子，说明树中只有这一个结点，直接删去，并 root=0
if(!ch[root][0]&&!ch[root][1]) { clear(root); root=0;//千万不要漏了这一句 return; }
② 根节点没有左孩子，说明树左边为空，那么只需把根节点的右孩子提为根节点，删除原根节点 小细节：新根节点的父节点置为0
if(!ch[root][0]) { int tmp=root; root=ch[root][1]; f[root]=0;//不要漏了它 clear(tmp); return; }
③ 根节点没有右孩子，与②同理
if(!ch[root][1]) { int tmp=root; root=ch[root][0]; f[root]=0; clear(tmp); return; }
④ 根节点既有左孩子又有右孩子
我们可以先把x的前驱l旋转为根节点
手动模拟一下过程可以发现：
在l成为根节点的前一步，一定是x的左孩子 ，这说明了l成为根节点后，x不会有左孩子
那么我们就可以直接把x的右孩子提到x的位置，删除x即可
int pre1=pre(),tmp=root;//tmp现在相当于x的位置 splay(pre1);//x前驱旋转为根节点 ，经过此操作后，根节点变为x的前驱 ch[root][1]=ch[tmp][1];//x的右孩子提到x的位置 f[ch[tmp][1]]=root;//更新父节点 clear(tmp);//删除x update(root);
为什么要在x是根节点的基础上执行删除操作？
因为splay要维护cnt、siz等信息
如果x不是根节点，x删除，x以上所有结点关于个数之类的信息都要更改
而如果x是根节点，x删除，不会影响其他结点
splay 插入insert、删除del、查询x的排名findpos、查询排名为x的数findx、查找前驱pre（第一个比x小的数）、查找后继nex（第一个比x大的数）完整代码
题目描述 您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作： 1.插入x数 2.删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个) 3.查询x数的排名(若有多个相同的数，因输出最小的排名) 4.查询排名为x的数 5.求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数) 6.求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数) 输入输出格式 输入格式： 第一行为n，表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x，opt表示操作的序号(1<=opt<=6) 输出格式： 对于操作3,4,5,6每行输出一个数，表示对应答案
题目来源：https://www.luogu.org/problem/show?pid=3369
#include<cstdio> #define N 1000000 using namespace std; int f[N],ch[N][2],key[N],cnt[N],siz[N],sz,root; void update(int x) { siz[x]=cnt[x]; if(ch[x][0]) siz[x]+=siz[ch[x][0]]; if(ch[x][1]) siz[x]+=siz[ch[x][1]]; } int pre() { int now=ch[root][0]; while(ch[now][1]) now=ch[now][1]; return now; } int nex() { int now=ch[root][1]; while(ch[now][0]) now=ch[now][0]; return now; } int getson(int x) { return ch[f[x]][1]==x; } void rotate(int x) { int fa=f[x],fafa=f[fa],k=getson(x); ch[fa][k]=ch[x][k^1];f[ch[fa][k]]=fa; ch[x][k^1]=fa;f[fa]=x; f[x]=fafa; if(fafa) ch[fafa][ch[fafa][1]==fa]=x; update(fa);update(x); } void splay(int x) { for(int fa;fa=f[x];rotate(x)) if(f[fa]) rotate(getson(x)==getson(fa) ? fa :x); root=x; } int findpos(int x) { int now=root,ans=0; while(1) { if(x<key[now]) now=ch[now][0]; else { ans+=ch[now][0] ? siz[ch[now][0]] : 0; if(x==key[now]) { splay(now); return ans+1; } ans+=cnt[now]; now=ch[now][1]; } } } int findx(int x) { int now=root; while(1) { if(ch[now][0]&&x<=siz[ch[now][0]]) now=ch[now][0];//千万不要漏了ch[now][0]==true else { int temp=(ch[now][0] ? siz[ch[now][0]] : 0)+cnt[now]; if(x<=temp) return key[now]; x-=temp; now=ch[now][1]; } } } void clear(int x) { ch[x][0]=ch[x][1]=cnt[x]=siz[x]=f[x]=key[x]=0; } void create(int x) { sz++;key[sz]=x; cnt[sz]=siz[sz]=1; ch[sz][0]=ch[sz][1]=f[sz]=0; } void insert(int x) { if(!root) create(x),root=sz; else { int now=root,fa=0; while(1) { if(key[now]==x) { cnt[now]++; siz[now]++; splay(now); break; } fa=now; now=ch[fa][x>key[fa]]; if(!now) { create(x); f[sz]=fa; ch[fa][x>key[fa]]=sz; splay(sz); break; } } } } void del(int x) { int t=findpos(x); if(cnt[root]>1) { cnt[root]--;siz[root]--; return; } if(!ch[root][0]&&!ch[root][1]) { clear(root); root=0; return; } if(!ch[root][0]) { int tmp=root; root=ch[root][1]; f[root]=0; clear(tmp); return; } if(!ch[root][1]) { int tmp=root; root=ch[root][0]; f[root]=0; clear(tmp); return; } int pre1=pre(),tmp=root; splay(pre1); ch[root][1]=ch[tmp][1]; f[ch[tmp][1]]=root; clear(tmp); update(root); } int main() { int n,opt,x; scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d%d",&opt,&x); switch(opt) { case 1 :insert(x);break; //插入x case 2 :del(x);break;//删除x case 3 :printf("%d\n",findpos(x));break;//查询x的排名 case 4 :printf("%d\n",findx(x));break;//查询排名为x的数 case 5 :insert(x);printf("%d\n",key[pre()]);del(x);break;//查找第一个小于x的数 case 6 :insert(x);printf("%d\n",key[nex()]);del(x);break;//查找第一个大于x的数 } } }
