清北学堂2017NOIP冬令营入学测试P4749 C’s problem(c)
P4746 C’s problem(c)
时间: 1000ms / 空间: 655360KiB / Java类名: Main
背景
冬令营入学测试
描述
题目描述
小C是一名数学家，由于它自制力比较差，经常通宵研究数学问题。
这次它因为这个数学问题已经两天两夜没有睡觉了，再不研究出来就要出人命了！快帮帮它吧！
这个问题是这样的，有一个数n，将其拆分成若干自然数之和，要求乘积最大！
如果你以为问题仅仅这么简单，那你就太naive了。
由于小C挑战自己的自我修养，它规定分成的自然数两两之间一定不能相等！
它请你输出这个乘积最大是多少，但这个答案太大了，小C并没有兴趣看那么长的数字，它只想知道这个数对1000000007取模后的值是多少。
输入格式
一行一个数表示n
输出格式
一个数表示答案
备注
输入样例
6
输出样例
8
数据范围
对于30%的数据n<=10。
对于50%的数据n<=10000。
对于100%的数据1<=n<=1000000000。
30分暴力
#include<iostream> #include<cstdio> #define mod 1000000007 using namespace std; int n; long long ans; bool v[100001]; void dfs(int now,int remain,long long s)//now当前分出来的数，remain还剩下多少，s乘积 { if(remain==0) { ans=max(s,ans); return ; } for(int i=now+1;i<=remain;i++) { if(!v[i])//不能有重复 { v[i]=true; dfs(i,remain-i,s*i%mod); v[i]=false; } } } int main() { scanf("%d",&n); if(n==1)//1不用拆 { cout<<1; return 0; } dfs(0,n,1); if(ans==n) cout<<ans-1;//2、3、4的结果应该是1、2、3，但dfs结果是2,3，4，因为拆分成了0和本身。dfs时从1开始，所以2,3,4的0乘本身算成了本身。>4的数答案大于本身，所以不用管 else cout<<ans; }
AC做法：
本题不难，难就难在找规律。
我们设待拆分数为n
看：
5=2*3
6=2*4 4是3+1得到的
7=3*4 3是2+1得到的
8=3*5 5是4+1得到的
9=2*3*4 数的个数增加1个，第1个数变成从2开始
10=2*3*5 5是4+1得到的
11=2*4*5 4是3+1得到的
12=3*4*5 3是2+1得到的
13=3*4*6 6是5+1得到的
14=2*3*4*5 数的个数增加1个，第1个数变成从2开始
由此得到第一个规律，对于数n，要么是n-1中的某一个数+1，要么是数的个数+1，第1个数变成2，往后递增
那么，什么时候对前一个数+1，什么时候数的个数+1呢？
我们再看：
本题要求乘积最大，设2个数a，b，且a<b，那么（a+1）*b=a*b+a，a*（b+1）=a*b+b；所以（a+1）*b<a*（b+1）。
由此可以得出结论，若给拆分后的数+1，那么最优解应该是给大的数+1
继续观察规律:
9拆成2*3*4，3个数
10：4（第3个数）+1
11：3（第2个数）+1
12：2（第1个数）+1
13：5（第3个数）+1
所以第二个规律：对于数n-1得到n时，给某个数+1是倒着来加的（语言表达能力有限，不懂请留言）
接下来，什么时候是数的个数+1呢？
5是2个数的开始，拆成2*3
9是3个数的开始，拆成2*3*4
14是4个数的开始，拆成2*3*4*5
由此可以推出
20是5个数的开始，拆成2*3*4*5*6
所以第三个规律：对于数n，若是可以拆成2*3*4*5*6……的形式，那个到n的最优解就是数的个数+1，第1个数变成2，往后递增
为什么我是从5开始找规律呢？因为当n<=4时，在拆出的数不相等的条件下，其本身最大，可以自己验证。
所以第四个规律：当n<=4时，答案就是本身
由以上4个规律，得到最终算法：
0、if（n<=4） cout<<n，结束
1、把数n从2开始分，拆成2*3*4*5……，直至拆到不够拆为止
2、如果n恰好拆完，那么答案就是2*3*4*5*6……，结束程序
3、 如果n拆不完，设n拆出的数分别为a（1）、a（2）、a（3）、a（4）……a（m）。
将剩下的数从a（m）开始，依次给a（m）加1、a（m-1）加1、a（m-2）……a（1）加1，直至加到n剩下的数全都加进去。若加到a（1），n剩下的数还没加完， 则再从a（m）开始。
4、最终答案就是a（1）*a（2）*a（3）*……a（m）
#include<cstdio> #define mod 1000000007 using namespace std; int n,now=2,a[1000000],cnt; long long ans=1; int main() { scanf("%d",&n); if(n<=4) { printf("%d",n); return 0; } while(n>=now) { a[++cnt]=now; n-=now; now++; } if(!n) { for(int i=1;i<=cnt;i++) ans=a[i]%mod*ans%mod; printf("%d",ans); return 0; } int tot=cnt; while(n) { if(!tot) tot=cnt; a[tot--]++; n--; } for(int i=1;i<=cnt;i++) ans=a[i]%mod*ans%mod; printf("%d",ans); return 0; }
