FFT求解字符串匹配

一、最基础的字符串匹配

给出1个长为n的串S和1个长为m的串T，询问T在S中出现的位置。

这是kmp经典问题，但现在我们要用FFT解决

令

\[dis(S_i,T)=\sum_{k=0}^{m-1}(S_{i+k}-T_k)^2 \]

若\(dis(S_i,T)=0\)，则S中从i开始的m个字符和T匹配，把T串翻转，就变成了

\[dis(S_i,T)=\sum_{k=0}^{m-1}(S_{i+k}-T_{m-k-1})^2 \]

展开就是

\[dis(S_i,T)=\sum_{k=0}^{m-1}(S_{i+k}*S_{i+k}+T_{m-k-1}*T_{m-k-1}-2*S_{i+k}*T_{m-k-1}) \]

式子前2项可以用前缀和解决，最后一项是卷积形式，可以使用FFT

二、带有通配符的字符串匹配

给出1个长为n的串S和1个长为m的串T，两个串均含有通配符，询问T在S中出现的位置。

借用上面的结论，通配符的位置看作0

\[dis(S_i,T)=\sum_{k=0}^{m-1}(S_{i+k}-T_{m-k-1})^2*S_{i+k}*T_{m-k-1} \]

展开就是

\[dis(S_i,T)=\sum_{k=0}^{m-1}((S_{i+k})^3*T_{m-k-1}-2*(S_{i+k})^2*(T_{m-k-1})^2+S_{i+k}*(T_{m-k-1})^3) \]

做3遍FFT
\(S_i\)与\(T\)匹配 \(<=>\) \(F_{m+i-1}=0\)

例题：洛谷4147
https://www.luogu.com.cn/problem/P4173

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=(1<<20)+10;
const double eps=1e-9;
const double pi=acos(-1);

char s1[N],s2[N];
int t1[N],t2[N];

int rev[N];

struct Complex
{
	double x,y;
	Complex(double x_=0,double y_=0):x(x_),y(y_){}
	Complex operator + (Complex P)
	{
		return Complex(x+P.x,y+P.y);
	}
	Complex operator - (Complex P)
	{
		return Complex(x-P.x,y-P.y);
	}
	Complex operator * (Complex P)
	{
		return Complex(x*P.x-y*P.y,x*P.y+y*P.x);
	}
};
typedef Complex E;

E a1[N],a2[N];

double f[N];

int pos[N];

void fft(E *a,int len,int type)
{
	for(int i=0;i<len;++i)
		if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=1;i<len;i<<=1)
	{
		E wn(cos(pi/i),type*sin(pi/i));
		for(int p=i<<1,j=0;j<len;j+=p)
		{
			E w(1,0);
			for(int k=0;k<i;++k,w=w*wn)
			{
				E x=a[j+k],y=a[j+k+i]*w;
				a[j+k]=x+y; a[j+k+i]=x-y;
			}
		}
	}
	if(type==-1)
		for(int i=0;i<len;++i) a[i].x/=len;
}

void FFT(E *a,E *b,int len,int kk)
{
	fft(a,len,1);
	fft(b,len,1);
	for(int i=0;i<len;++i) a[i]=a[i]*b[i];
	fft(a,len,-1);
	for(int i=0;i<len;++i) f[i]+=kk*a[i].x;
}

int main()
{
	int m,n,ans=0;
	scanf("%d%d",&m,&n);
	scanf("%s%s",s1,s2);
	reverse(s1,s1+m);
	for(int i=0;i<m;++i) 
		if(s1[i]!='*') t1[i]=s1[i]-'a'+1;
	for(int i=0;i<n;++i)
		if(s2[i]!='*') t2[i]=s2[i]-'a'+1;
	int num=m+n-1,len=1,bit=0;
	while(len<num) len<<=1,bit++;
	for(int i=0;i<len;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<bit-1);
	for(int i=0;i<n;++i) 
	{
		a1[i].x=t2[i]*t2[i]*t2[i];
		a1[i].y=0;
	}
	for(int i=n;i<len;++i) a1[i].x=a1[i].y=0;
	for(int i=0;i<m;++i)
	{
		a2[i].x=t1[i];
		a2[i].y=0;
	}
	for(int i=m;i<len;++i) a2[i].x=a2[i].y=0;
	FFT(a1,a2,len,1);
	for(int i=0;i<n;++i) 
	{
		a1[i].x=t2[i];
		a1[i].y=0;
	}
	for(int i=n;i<len;++i) a1[i].x=a1[i].y=0;
	for(int i=0;i<m;++i)
	{
		a2[i].x=t1[i]*t1[i]*t1[i];
		a2[i].y=0;
	}
	for(int i=m;i<len;++i) a2[i].x=a2[i].y=0;
	FFT(a1,a2,len,1);
	for(int i=0;i<n;++i) 
	{
		a1[i].x=t2[i]*t2[i];
		a1[i].y=0;
	}
	for(int i=n;i<len;++i) a1[i].x=a1[i].y=0;
	for(int i=0;i<m;++i)
	{
		a2[i].x=t1[i]*t1[i];
		a2[i].y=0;
	}
	for(int i=m;i<len;++i) a2[i].x=a2[i].y=0;
	FFT(a1,a2,len,-2);
	for(int i=0;i+m-1<n;++i)
		if(f[i+m-1]<0.5) pos[++ans]=i;
	printf("%d\n",ans);
	for(int i=1;i<=ans;++i) printf("%d ",pos[i]+1); 
}