容斥原理求gcd为k的数对个数

定义:
\(f(k)\)=\(\sum_{i}^{n}\)\(\sum_{j}^{m}\)\([gcd(i,j)=k]\)
即\(f(k)\)表示\(gcd(i,j)=k\)的数对个数

根据容斥原理，\(f(k)=\) 以k为公约数的数对个数\(-\)以k的倍数为最大公约数的数对个数
即\(f(k)=\lfloor{n/x}\rfloor*\lfloor{m/x}\rfloor-\sum f[k*i]\)，其中\(k*i<=n\)

从\(min(n,m)\)开始倒着计算，即可用\(nlogn\)复杂度求出所有的\(f(k)\)

三道题：
1、洛谷P2398 GCD SUM
https://www.luogu.com.cn/problem/P2398
求出\(f(k)\)之后，答案就是\(\sum{k*f(k)}\)

#include<cstdio>

#define N 100001

long long f[N];

int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=n;i;--i)
	{
		f[i]=1ll*(n/i)*(n/i);
		for(int j=i+i;j<=n;j+=i) f[i]-=f[j];
	}
	long long ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) ans+=i*f[i];
	printf("%lld",ans);
}

2、SDOI2008 仪仗队
https://www.luogu.com.cn/problem/P2158
他能看到它右面的一个和上面的一个，然后除去他所在的那一行一列，若\(gcd(i,j)=1\)，则能看到，所以答案就是\(f(1)+2\)
\(n=1\)特判

#include<cstdio>

#define N 100001

long long f[N];

int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	--n;
	if(!n) 
	{
		printf("0");
		return 0; 
	}
	for(int i=n;i;--i)
	{
		f[i]=1ll*(n/i)*(n/i);
		for(int j=i+i;j<=n;j+=i) f[i]-=f[j];
	}
	printf("%lld",f[1]+2);
}

3、NOI2010 能量采集
https://www.luogu.com.cn/problem/P1447
若\(gcd(i,j)=k\)，则到点\((i,j)\)的过程中会经过k-1个点
因为
假设\(gcd(i,j)=k\)，\(i^{'}=i/k\)，\(j^{'}=j/k\)，那么从\((0,0)\)到\((i,j)\)的过程中会经过\((i^{'},j^{'})\),\((2i^{'},2j^{'})\),\((3i^{'},3j^{'})\)……\(((k-1)i^{'},(k-1)j^{'})\)
所以答案就是\(\sum{f(k)*(2k-1)}\)

#include<cstdio>

#define N 100001

long long f[N];

int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int nm=n<m ? n : m; 
	for(int i=nm;i;--i)
	{
		f[i]=1ll*(n/i)*(m/i);
		for(int j=i+i;j<=nm;j+=i) f[i]-=f[j];
	}
	long long ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) ans+=f[i]*(2*i-1);
	printf("%lld",ans);
}