AtCoder Beginner Contest 182 F - Valid payments

https://atcoder.jp/contests/abc182/tasks/abc182_f

 

题意：

有n种面值的货币a[i]，满足a[i]是a[i-1]的倍数，a[1]=1

有一种价值为x的商品，付款y元，找零y-x元

问满足以下2个条件的y有多少种

条件1：付款和找零时，使用的货币数量在对应金额下最少

条件2：在满足条件1的前提下，付款所用的面值，找零时不能再使用

 

条件1即第i种面值的货币最多使用 a[i+1]/a[i] 次，且最大金额的货币不能用于找零

令mx[i]=a[i+1]/a[i]

 

每个数用所给的面值都有唯一的表达式

即w=k1*a1+k2*a2+……+kn*an，对于每个w来说，(k1,k2,……kn）是唯一的

将问题转化为给出x，求满足x+b=y，且b和y的ki不能同时非0

称ki为系数

将x+b=y用系数表示，再加上上界限制，即

   bk1  bk2  bk3  bk4……

+ xk1  xk2  xk3  xk4……

= yk1  yk2  yk3  yk4……

其中 0<=yki<mx[i]，bki和yki不能同时非0

 

那么

如果bki非0，yki必须是0，所以bki满足 bki+xki+前一位的进位=mx[i]

如果bki=0，yki=xki+前一位的进位

所以当确定了是否进位后，bki是唯一的，相应的yki也是唯一的

 

dp[i][0/1]表示第i位是否进位（0不进位，1进位）的b的方案数（也是y的方案数）

 

如果当前位没有进位，

下一位一定可以没有进位

下一位如果想产生进位，对应xk必须非0 

因为如果下一位x的系数=0，要想产生进位必须b的系数=mx，而b的系数如果=mx就不满足条件1

 

如果当前位有进位，

下一位一定可以有进位

而下一位如果想没有进位，对应的xk必须满足加1不会产生进位

 

 

#include<cstdio>

typedef long long LL;

#define N 52

LL a[N];
LL mx[N],xx[N];
LL dp[N][2];

int main()
{
    int n;
    LL x,t;
    scanf("%d%lld",&n,&x);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1;i<n;++i) mx[i]=a[i+1]/a[i];
    t=x;
    for(int i=n;i;--i)
    {
        xx[i]=t/a[i];
        t%=a[i];
    }
    dp[1][0]=1;
    if(xx[1]) dp[1][1]=1;
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        dp[i+1][0]=dp[i][0];
        if(xx[i+1]) dp[i+1][1]=dp[i][0];
        dp[i+1][1]+=dp[i][1];
        if(xx[i+1]+1!=mx[i+1]) dp[i+1][0]+=dp[i][1];
    }
    printf("%lld",dp[n][0]);
}