P2822 组合数问题

P2822 组合数问题

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题目描述

组合数表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从（1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有（1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定 义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

其中n! = 1 × 2 × · · · × n

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0 <= i <= n，0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足是k的倍数。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见 【问题描述】。

接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

输出格式：

t行，每行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入样例#1：

1 2
3 3

输出样例#1：

1

输入样例#2：

2 5
4 5
6 7

输出样例#2：

0
7

说明

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有是2的倍数。

【子任务】

思路分析：

这个题第一反应50分稳了。打打暴力折腾50分出来。n=1的点AC其他TLE...

样例一好像没什么用处。。。所以看看样例二能搞出什么东西来。

手推一下样例二：

\begin{matrix}
C^0_0&&&&&\\
C^0_1&C^1_1&&&&\\
C^0_2&C^1_2&C^2_2&&&\\
C^0_3&C^1_3&C^2_3&C^3_3&&\\
C^0_4&C^1_4&C^2_4&C^3_4&C^4_4&\\
C^0_5&C^1_5&C^2_5&C^3_5&C^4_5&C^5_5
\end{matrix}

套一下公式。

忽略m或n等于0的情况，这个时候组合数无意义。

结合上面的矩阵（无意义处为-1，实际上不必初始化这些位置，保持默认的0即可）：

\begin{matrix}
 -1&0&0&0&0&0&0\\
 -1&1&0&0&0&0&0\\
 -1&2&1&0&0&0&0\\
 -1&3&3&1&0&0&0\\
 -1&4&6&4&1&0&0\\
 -1&5&10&10&5&1&0\\
 -1&6&15&20&15&6&1
\end{matrix}

容易看出这是一个杨辉三角。杨辉三角的一般递推式：

\begin{equation*}f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]\end{equation*}

杨辉三角的初始化：

\begin{equation*}f[i][1]=i,f[i][i]=1\end{equation*}

依上建立状态转移方程。

直接求会爆掉long long，所以边求边膜模。

状态转移方程$f[i][j]=(f[i-1][j-1]\ mod\ k+f[i-1][j]\ mod\ k)\ mod \ k$

这样就求出组合中的每一项了。问题解决了一半。

第二步，统计。

两个for循环，统计一下有矩阵中有多少项为0即可。仍然是dp。

新开一个ans数组，if(!table[i][j])ans[i][j]=ans[i][j-1]+1;else ans[i][j]=ans[i][j-1];

这样，我们就可以做到$O(n)$的查询了。好像还有$O(1)$的方法，然而看不懂。

#include<cstdio>
using namespace std;
long long table[2005][2005];
long long ans[2005][2005];
int t,k,n,m,a;
int main()
{
    scanf("%d%d",&t,&k);
    for(int i=1;i<=2000;i++)
        table[i][i]=1,table[i][1]=i%k;
    for(int i=2;i<=2000;i++)
        for(int j=2;j<=i-1;j++)
            table[i][j]=(table[i-1][j-1]%k+table[i-1][j]%k)%k;
    for(int i=1;i<=2000;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            if(!table[i][j])
                ans[i][j]=ans[i][j-1]+1;
            else
                ans[i][j]=ans[i][j-1];
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        a=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(i>m)
                a+=ans[i][m];
            else
                a+=ans[i][i];
        printf("%lld\n",a);
    }
    return 0;
}