【计数】序列转等概率环问题

问题描述

有 $m$ 个人要坐 $n$ 个位置，每个人的选择方式如下。首先选择一个座位，选定一个方向（向左/右），然后找到从这个座位开始这个方向的第一个空座位。

如果这时走到尽头都选不到座位，就声称这个人失败了。

一个完美的方案当且仅当所有人都不失败，求完美方案数。

$1\le m\le n\le {10}^{18}$ 。

算法描述

这个问题叫做 序列转等概率环问题 。

考虑两端可以看做等价，所以可以加一个虚点 $n+1$ 将其看做一个环，每次可以选一个点顺时针或者逆时针走，要求最后不碰到 $n+1$ 。

直接将总方案数 $(2n+2{)}^m$ 减去碰到 $n+1$ 的方案即可。

这是我们惊奇的发现，环状结构比链状结构好的一点是每个点等价，所以每个点被选的情况数是相同的，由于所有情况选的点数是 $m(2n+2{)}^m$ 。所以 $n+1$ 被选的情况就是 $\frac{m(2n+2{)}^m}{n+1}$ 。

所以答案就是 $(2n+2{)}^m(1-\frac{m}{n+1})$ 。

着实是一种很人类智慧的方法。