【图论】最小直径生成树

【图论】最小直径生成树

题目描述

求图中的一个生成树，使得直径最小，求这个直径。

$1\le n\le 200,1\le m\le \frac{n(n-1)}{2}$。

算法描述

考虑求出一个绝对中心，这个中心是一个点，与生成树上所有点距离最大值最小，这个点可能在一条边上。

考虑枚举一条边 $(u,v)$ ，假设绝对中心在这条边上。假设绝对中心离 $u$ 距离 $x$ ，那么对于一个顶点 $k$ ，到绝对中心的距离就是 $min(dis(u,k)+x,dis(v,k)+w-x)$ 。这是一个关于 $x$ 的函数，斜率绝对值为 $1$ ,呈上凸形态。

那么对于所有的点，这个距离取最大值，就是一个锯齿状的函数。

毫无疑问，最大值中取最小值就是最低的拐点，这里我们分开讨论：

• 如果这个拐点是端点，那么直接枚举顶点，看哪个点距离它最远，由于绝对中心在端点上，那么一定有另外一个点同样是最远距离，乘 2 即可。

• 如果不是端点，那么需要找到最长的直径，观察上图。

如果我们按照 $dis(u,i)$ 从大到小的顺序来枚举 $i$ 的话，后面的 $i$ 左侧端点一定低于前面的，容易发现只有右侧端点高于前面，才会贡献一个交点。

所以我们记录当前扫到的 $i$ 中，离 $v$ 最远的是哪一个，如果新出现了一个离 $v$ 更远的，假设原来的点是 $p$ ，新点是 $i$ ，那么这里贡献的直径长度就是 $p,i$ 两点离绝对中心的最短距离之和，就是 $dis(p,v)+dis(i,u)+w$。原因形如下图：

标记的 $c1,c2$ 是 $p-u-v-p,i-u-v-i$ 两个环的中点，图像上就是两个波峰。

由于 $p$ 对应的波峰在左侧，$i$ 在右侧，所以 $c1$ 一定在 $c2$ 左边。那个最小点就取在了 $c1,c2$ 中间。所以对于 $p$ 来说，从 $v$ 到中心更短；对 $i$ 来说，从 $u$ 更短，所以就是上面的式子。

综上，枚举每条边，在枚举点判断即可，点边不同阶可以用 floyd 算法，时间复杂度 $\mathrm{\Theta }(n^3+nm)$ 。

如果想求中心，找到直径后取中点即可。

想求生成树，以中心为源跑最短路树即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 205;
int n,dis[N][N],m,rk[N][N];
struct Edge{
	int u,v,w;
}e[N * N];
typedef long double ld;
int main()
{
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	cin>>n>>m;
	for(int i = 1,x,y,z;i <= m;i++)
	{
		cin>>x>>y>>z;
		dis[x][y] = dis[y][x] = z;
		e[i] = Edge{x,y,z};
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++) dis[i][i] = 0;
	for(int k = 1;k <= n;k++)
		for(int i = 1;i <= n;i++)
			for(int j = 1;j <= n;j++)
				dis[i][j] = min(dis[i][j],dis[i][k] + dis[k][j]);
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		for(int j = 1;j <= n;j++) rk[i][j] = j;
		sort(rk[i] + 1,rk[i] + n + 1,[&](int x,int y) {return dis[i][x] < dis[i][y];});
	}
	ld ans = 1e18;
	for(int i = 1;i <= n;i++) ans = min(ans,dis[i][rk[i][n]] * (ld)2);
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		int u = e[i].u,v = e[i].v,p = rk[u][n]; 
		for(int j = n;j >= 1;j--)
		{
			int nw = rk[u][j];
			if(dis[v][nw] > dis[v][p])
			{
				ans = min(ans,(ld)dis[u][nw] + dis[v][p] + e[i].w);
				p = nw;
			}
		}
	}
	cout<<fixed<<setprecision(10)<<ans / 2;
	return 0;
}