【APIO2016】烟火表演

先前的题目对 slope trick 的认识还不深刻，这题可以看出一个完整的构建过程。

题目描述

给定一棵有根树，根为 $1$ ，边带权，修改边权的代价时修改值与原值差的绝对值，求让所有叶子到根距离相等的最小代价。

$1\le n\le 3\times {10}^5,1\le w\le {10}^9$ 。

算法解析

首先有朴素 dp，设 $f_{i,x}$ 为 $i$ 点子树所有叶子到 $i$ 距离都为 $x$ 的最小代价：

$$f_{i,x}=\sum _v\underset{p\le x}{min}{f}_{v,p}+|w+p-x|$$

但是复杂度过大，考虑优化，发现 $f_i(x)$ 看作函数，就是一个下凸函数（不太会证）。

而且每次修改的斜率可能是 $\mathrm{\Theta }(1)$ 的。

这启发我们用 slope trick 做，现在研究被合并到父亲时需要做什么变化：

这里我们想象儿子是一个图像，父亲是一个图像，要将儿子的图像 $x$ 坐标与父亲对齐后加上去。设 $x$ 是父亲的横坐标，$L,R$ 是儿子图像上最低点的左右端。

• $x\le L$ ：$p$ 往左走，$|w+p-x|$ 最多减小 $1$ ，但是 $f_v(p)$ 增加至少 $1$ ，不优，所以取 $p=x$ 时最优， 代价是 $f_{v,x}+w$。

• $L<x\le L+w$ ：发现如果 $p$ 取 $L$ 时 $f_v(p)$ 取最小值，但是 $x\le w+p$ ，所以绝对值函数取不到最小值，相应地，要将 $p$ 往左移一些，但是由于 $f_v(p)$ 斜率的原因，还是不优，所以 $p=L$ ，代价是 $f_{v,L}+(w+L-x)$ 。

• $L+w<x\le R+w$ ：$p=x-w$ 时绝对值和 $f_v(p)$ 都取最小值，两全其美，代价是 $f_{v,x-w}$ 。

• $x>R+w$ ，同 $1$ ，无法向右走，$p=R$ ，所以代价是 $f_{v,R}+x-R-w$ 。

观察这个图形发生了什么？

众所周知的是，slope trick 中我们存多个拐点代表斜率此时增加 $1$ 。但是不知道初始值，也就是 $f_v(0)$ ，如果知道初始值和初始斜率，就可以递推出整段函数值。

所以我们假定我们现在知道初始值和初始斜率，这样后面的就更好理解。

• 1操作相当于将 $x\le L$ 的 $f_{v,x}$ 部分向上平移 $w$ ，直接初始值 $+w$ 即可。

• 2操作相当于在刚刚的基础上，从 $x=L$ 开始到 $x=L+w$ 的一条斜率为 $-1$ 的直线，由于原来这一段是平的。所以这里斜率为 $-1$ 。

• 3操作继承原来最小值，计算发现初始值抬高了 $w$ ，但是前面那段斜率为 $-1$ 的直线正好下降了 $w$ ，所以值直接不变。

• 4操作相当于在3的基础上，从 $R+w$ 开始在后面连一条斜率为 $1$ 的直线，直接删掉后面所有拐点，再加一个即可。

然后要将这个凸壳加到父亲上，这个使用可并堆即可，本文用了左偏树。

具体修改凸壳就是：删掉后面的一些点，在 $L+w,R+w$ 两处插入两个拐点即可。

至于这个 "一些"，儿子每次合并上来，后面会增加一个，所以数儿子数量，合并所有儿子时只留一个斜率 $+1$ 的射线。

对于 $f_1(0)$ 的值，发现直接是所有边权的和；初始斜率也好计算，堆的最后一个拐点后斜率为 $+1$ ，向前推即可。

时间复杂度 $\mathrm{\Theta }(n\log n)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 6e5 + 5;
struct Heap{
	int lc,rc,val,dis;
}t[N];
int rt[N],n,m,tot = 0,fa[N],C[N],deg[N];
inline int merge(int x,int y)
{
	if(!x || !y) return x + y;
	if(t[x].val < t[y].val) swap(x,y);
	t[x].rc = merge(t[x].rc,y);
	if(t[t[x].rc].dis > t[t[x].lc].dis) swap(t[x].rc,t[x].lc);
	t[x].dis = t[t[x].rc].dis + 1;
	return x;
}
inline int new_node(int v) {++tot; t[tot].lc = t[tot].rc = t[tot].dis = 0; t[tot].val = v; return tot;}
inline void push(int x,int v) {rt[x] = merge(rt[x],new_node(v));}
inline int top(int x) {return t[rt[x]].val;}
inline void pop(int x) {rt[x] = merge(t[rt[x]].lc,t[rt[x]].rc);}
signed main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i = 2;i <= n + m;i++)
	{
		cin>>fa[i]>>C[i];
		deg[fa[i]]++;
	}
	for(int i = n + m;i >= 2;i--)
	{
		int L = 0,R = 0;
		if(i <= n)
		{
			while(--deg[i]) pop(i);
			R = top(i); pop(i);
			L = top(i); pop(i);
		}
		push(i,L + C[i]); push(i,R + C[i]);
		rt[fa[i]] = merge(rt[fa[i]],rt[i]);	
	}
	while(--deg[1]) pop(1);
	pop(1);
	int ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n + m;i++) ans += C[i];
	while(rt[1]) ans -= top(1),pop(1);
	cout<<ans;
	return 0;
}