关于期望的警醒

一般认为，期望具有线性性：

\[E(pa + qb) = pE(a) + qE(b) \]

其中 \(p,q\) 是常数。

一般又认为，期望和乘法不能结合：

\[E(ab) \neq E(a)E(b) \]

但是其实类似于积性函数，它在两个随机变量 \(a,b\) 相互独立的时候是成立的：

\[a/b \to E(ab) = E(a)E(b) \]

具体说，通过期望的定义式可以得到：\(E(x) = \sum_i P(x = i)i\)

\[E(a)E(b) = (\sum_i P(a = i)i)(\sum_j P(b = j)j) \]

\[= \sum_i \sum_j P(a = i)P(b = j) ij \]

\[= \sum_{ij} P(ab = ij) ij \]

\[= E(ab) \]

这个性质可以用于很多方面。