【动态规划】【动态 DP】 CF750E New Year and Old Subsequence

题目描述

定义数字串是好的当且仅当其包含子序列 2017 ，不包含子序列 2016。

定义数字串的丑陋值为最少删掉几个字符，它才能是好的，如果一直不能，就是 $- 1$ 。

给定数字串 $t$ ，长度为 $n$ ， $q$ 次询问求 $[l, r]$ 的丑陋值。

$1 \leq n, q \leq 2 \times 10^{5}$ 。

算法描述

对于这种问题，我们先探究如果给你一个数字串，怎样求丑陋值。

我们发现由于是子序列，情况太复杂，没办法讨论，考虑 dp。每个点的状态定义为在其之前凑出关键字串的 “进度”， $f_{i, 0 / 1 / 2 / 3 / 4}$ 表示前 $i$ 个字符，凑出 $\emptyset / 2 / 20 / 201 / 2017$ 且没有 $2016$ 的最少删除个数，可以分讨：

f_{i, 0} = f_{i - 1, 0} + [s_{i} = 2]

f_{i, 1} = min (f_{i - 1, 0} \times [s_{i} = 2], f_{i - 1, 1} + [s_{i} = 0])

注意这里的 $\times$ 不是乘法，而是如果 $s_{i} = 2$ 就有这一项，不等于这一项就是 inf。

f_{i, 2} = min (f_{i - 1, 1} \times [s_{i} = 0], f_{i - 1, 2} + [i = 1])

f_{i, 3} = min (f_{i - 1, 2} \times [s_{i} = 1], f_{i - 1, 3} + [s_{i} = 7 | s_{i} = 6])

f_{i, 4} = min (f_{i - 1, 3} \times [s_{i} = 7], f_{i - 1, 4} + [s_{i} = 6])

这样可以 $Θ (n)$ 求一个序列的丑陋值。

那么怎样回答区间呢？

考虑用 DDP 的思路转化成矩阵，再套上线段树。这里采用 $min, +$ 的广义矩阵，将 $[f_{i, 0}, f_{i, 1}, f_{i, 2}, f_{i, 3}, f_{i, 4}]$ 作为一个矩阵，手模可以得到一个 $5 \times 5$ 的转移矩阵：

[\begin{matrix} [s_{i} = 2] & 0 \times [s_{i} = 2] & i n f & i n f & i n f \\ i n f & [s_{i} = 0] & 0 \times [s_{i} = 0] & i n f & i n f \\ i n f & i n f & [s_{i} = 1] & 0 \times [s_{i} = 1] & i n f \\ i n f & i n f & i n f & [s_{i} = 7 | s_{i} = 6] & 0 \times [s_{i} = 7] \\ i n f & i n f & i n f & i n f & [s_{i} = 6] \end{matrix}]

线段树上每个点初始化，区间询问将其乘起来，再左乘上初始矩阵 $[0, i n f, i n f, i n f, i n f]$ 即可。

时间复杂度 $Θ (k^{3} n \log n)$ 。

这题可以说是最简单的 DDP 转化，由此看出如果涉及修改的话直接单点改某一个矩阵即可，复杂度 $Θ (k^{3} \log n)$ 的，十分优秀。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 5,inf = 0x3f3f3f3f;
struct Matrix{
	int a[5][5];
};
Matrix operator *(Matrix x,Matrix y)
{
	Matrix z;
	for(int i = 0;i < 5;i++)
		for(int j = 0;j < 5;j++)
		{
			z.a[i][j] = inf;
			for(int k = 0;k < 5;k++)
				z.a[i][j] = min(z.a[i][j],x.a[i][k] + y.a[k][j]);
		}
	return z;
}
int n,q;
char s[N];
struct Segment_Tree{
	Matrix a[N << 2];
	inline void pushup(int pos) {a[pos] = a[pos << 1] * a[pos << 1 | 1];}
	inline void build(int l,int r,int pos)
	{
		if(l == r) 
		{
			for(int i = 0;i < 5;i++)
				for(int j = 0;j < 5;j++)
				{
					if(i == 0 && j == 0) a[pos].a[i][j] = (s[l] == '2');
					else if(i == 1 && j == 1) a[pos].a[i][j] = (s[l] == '0');
					else if(i == 2 && j == 2) a[pos].a[i][j] = (s[l] == '1');
					else if(i == 3 && j == 3) a[pos].a[i][j] = (s[l] == '7') | (s[l] == '6');
					else if(i == 4 && j == 4) a[pos].a[i][j] = (s[l] == '6');
					else if(i == 0 && j == 1) a[pos].a[i][j] = ((s[l] == '2') ? 0 : inf);
					else if(i == 1 && j == 2) a[pos].a[i][j] = ((s[l] == '0') ? 0 : inf);
					else if(i == 2 && j == 3) a[pos].a[i][j] = ((s[l] == '1') ? 0 : inf);
					else if(i == 3 && j == 4) a[pos].a[i][j] = ((s[l] == '7') ? 0 : inf);
					else a[pos].a[i][j] = inf;
				}
			return;
		}
		int mid = (l + r) >> 1;
		build(l,mid,pos << 1); build(mid + 1,r,pos << 1 | 1);
		pushup(pos);
	}
	inline Matrix query(int l,int r,int L,int R,int pos)
	{
		if(L <= l && r <= R) return a[pos];
		int mid = (l + r) >> 1;
		if(L <= mid && R > mid) return query(l,mid,L,R,pos << 1) * query(mid + 1,r,L,R,pos << 1 | 1);
		else if(L <= mid) return query(l,mid,L,R,pos << 1);
		else if(R > mid) return query(mid + 1,r,L,R,pos << 1 | 1);
	} 
}t;
int main()
{
	cin>>n>>q;
	scanf("%s",s + 1);
	t.build(1,n,1);
	for(int i = 1,l,r;i <= q;i++)
	{
		cin>>l>>r;
		Matrix now = t.query(1,n,l,r,1);
		int ori[5] = {0,inf,inf,inf,inf},res[5] = {inf,inf,inf,inf,inf};
		for(int j = 0;j < 5;j++)
			for(int k = 0;k < 5;k++)
				res[j] = min(res[j],ori[k] + now.a[k][j]);
		printf("%d\n",(res[4] == inf) ? -1 : res[4]);
	}
	return 0;
}