ABC173F Intervals on Tree

ABC173F Intervals on Tree

题目描述

一棵 $n$ 个点的树，定义 $f(l,r)$ 为由 $l\sim r$ 的点构成的点集在树上形成的连通块个数，让你求 $\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^{n}f(l,r)$。

$1\le n\le 2\times {10}^5$ 。

算法解析

这样的子区间和问题一般用扫描线解决，但是本题我们发现 $f(l,r)$ 难以计算，可以用可撤销并查集做到 $\mathrm{\Theta }(\log n)$ 扩展左右端点，但是不能满足要求。

考虑我们能不能换一个式子， 由于它是一棵树这样的特殊性质，$f(l,r)=\mathrm{点}\mathrm{数}-\mathrm{边}\mathrm{数}$ ，所以我们可以表示成 $\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^n\mathrm{点}\mathrm{数}-\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^n\mathrm{边}\mathrm{数}$ 的形式。点数是好算的，就是 $r-l+1$ ，边数考虑对边单独计算贡献，假设边是 $(u,v)(u<v)$ ，那么选择的区间在 $l\le u,r\ge v$ 时会选中这条边，所以贡献是 $u\times (n-v+1)$ 。这样我们就做到了 $\mathrm{\Theta }(n)$ 计算答案。

此题的拆贡献很基础但是很巧妙，有很多其他的题目都可以像这样处理，将难算的函数转化成易算的函数求解。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 5;
int u[N],v[N],n;
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i = 1,x;i <= n - 1;i++) 
		cin>>u[i]>>v[i],x = u[i] ^ v[i],u[i] = min(u[i],v[i]),v[i] = x ^ u[i];
	long long ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++) ans = ans + 1ll * (n - i + 2) * (n - i + 1) / 2;
	for(int i = 1;i <= n - 1;i++) ans = ans - 1ll * u[i] * (n - v[i] + 1);
	cout<<ans;
	return 0;
}