ABC173F Intervals on Tree

ABC173F Intervals on Tree

题目描述

一棵 \(n\) 个点的树，定义 \(f(l,r)\) 为由 \(l \sim r\) 的点构成的点集在树上形成的连通块个数，让你求 \(\sum_{l=1}^{n}\sum_{r=l}^{n} f(l,r)\)。

\(1 \leq n \leq 2 \times {10}^5\) 。

算法解析

这样的子区间和问题一般用扫描线解决，但是本题我们发现 \(f(l,r)\) 难以计算，可以用可撤销并查集做到 \(\Theta(\log n)\) 扩展左右端点，但是不能满足要求。

考虑我们能不能换一个式子， 由于它是一棵树这样的特殊性质，\(f(l,r) = 点数 - 边数\) ，所以我们可以表示成 \(\sum_{l = 1}^n\sum_{r = l}^n 点数 - \sum_{l = 1}^n\sum_{r = l}^n 边数\) 的形式。点数是好算的，就是 \(r - l + 1\) ，边数考虑对边单独计算贡献，假设边是 \((u,v)(u < v)\) ，那么选择的区间在 \(l \leq u,r \geq v\) 时会选中这条边，所以贡献是 \(u \times (n - v + 1)\) 。这样我们就做到了 \(\Theta(n)\) 计算答案。

此题的拆贡献很基础但是很巧妙，有很多其他的题目都可以像这样处理，将难算的函数转化成易算的函数求解。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 5;
int u[N],v[N],n;
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i = 1,x;i <= n - 1;i++) 
		cin>>u[i]>>v[i],x = u[i] ^ v[i],u[i] = min(u[i],v[i]),v[i] = x ^ u[i];
	long long ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++) ans = ans + 1ll * (n - i + 2) * (n - i + 1) / 2;
	for(int i = 1;i <= n - 1;i++) ans = ans - 1ll * u[i] * (n - v[i] + 1);
	cout<<ans;
	return 0;
}