【动态规划】【换维】扔鸡蛋游戏
【动态规划】【换维】扔鸡蛋游戏
这是一道在《信息学奥赛一本通》上的经典题目。题目描述如下:
有
个一模一样的鸡蛋,楼的高度为 ,定义鸡蛋的硬度为 ,当且仅当将鸡蛋从 楼扔下不会碎,从 楼扔下会碎,求最坏情况下求出鸡蛋硬度的最小步数。
。保证硬度在 之间。
考虑假设只有两个蛋,最小步数是
我们一定是分块来扔,考虑如果第一次碎了,那么硬度一定小于第一次扔的高度,此时我们还有
接下来假设我们有
综上所述,
直接做即可,这道题目难以通过枚举高度和鸡蛋个数来算出次数,所以我们考虑换一维,用个数和次数推出最高高度,再通过二分回答询问,是一种很巧妙的思路,时间复杂度
当然还有基于枚举高度的
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,dp[101][101];//dp[i][j]:硬度在[0,i]之间,还有J个鸡蛋
int main()
{
while(cin>>n>>m)
{
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=n;i++)
dp[i][1]=i;//只有一个鸡蛋,扔i次
for(int i=1;i<=m;i++)
dp[1][i]=dp[0][i]=1;//硬度只有2种情况,只扔1次
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
for(int k=1;k<=i;k++)
dp[i][j]=min(dp[i][j],max(dp[k-1][j-1],dp[i-k][j])+1);
cout<<dp[n][m]<<endl;
}
return 0;
}
如果这题数据加强到
考虑到
鸡蛋数很少时,我们沿用第一种
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105;
typedef long long ll;
const ll inf = 1000000000000000005;
long long f[N][N];
inline void prework()
{
for(int i = 1;i <= 60;i++) f[1][i] = i;
for(int i = 2;i <= 58;i++)
{
f[i][1] = 1;
for(int j = 2;j <= 60;j++)
f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1 + f[i][j - 1];
}
}
inline long double lag(ll p,ll X)
{
long double jdg = 0;
for(int i = 1;i <= p + 1;i++)
{
long double now = f[p][i];
for(int j = 1;j <= p + 1;j++)
{
if(j == i) continue;
now *= 1.00 * (X - j) / (i - j);
}
jdg += now;
if(jdg > inf) return inf;
}
return jdg;
}
inline ll lg(ll x)
{
ll ret = 1;
if((x & (-x)) == x) --ret;
for(;x;x /= 2) ++ret;
return ret;
}
int main()
{
long long n,k;
prework();
while(cin>>n>>k)
{
if(k == 1) {cout<<n<<endl; continue;}
if(k >= 59)
{
cout<<lg(n);
continue;
}
int l = 1,r = 4000005;
while(l < r)
{
int mid = (l + r) >> 1;
if(lag(k,mid) < n) l = mid + 1;
else r = mid;
}
cout<<l<<endl;
}
return 0;
}
之所以二分上界是
当然这题可以前缀和优化
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