【数据结构】动态树

【数据结构】动态树

动态树（Link-Cut Tree），是OI中一种高级的数据结构，用于维护一个动态森林上的链上问题。性价比较高。

题目描述

给定 $n$ 个点以及每个点的权值，要你处理接下来的 $m$ 个操作。
操作有四种，操作从 $0$ 到 $3$ 编号。点从 $1$ 到 $n$ 编号。

• 0 x y 代表询问从 $x$ 到 $y$ 的路径上的点的权值的 $\text{xor}$ 和。保证 $x$ 到 $y$ 是联通的。
• 1 x y 代表连接 $x$ 到 $y$，若 $x$ 到 $y$ 已经联通则无需连接。
• 2 x y 代表删除边 $(x,y)$，不保证边 $(x,y)$ 存在。
• 3 x y 代表将点 $x$ 上的权值变成 $y$。

这是链上维护$xor$和问题。

我们用$splay$维护一棵子树上的一条链的信息，也就是说，LCT是由多个$splay$构成的，这个$splay$有一个性质，中序遍历恰好是这条链从浅到深的顺序。这样的结构叫做“实链剖分”。实边构成一条链。

接下来介绍一些核心操作：

access

将一个点与到它这颗子树的根的道路打通。我们沿着$fa$指针向上跳，将当前点$splay$上去，然后将它变成它父亲（如果有的话）的右儿子，因为它的深度比它的父亲低。

inline void access(int x)
{
	for(int rc = 0;x;rc = x,x = t[x].fa)
		splay(x),t[x].son[1] = rc,update(x);
}

findroot

找到$x$所在子树的根。我们首先打通$x$到根的路径，再将$xsplay$上去，由于中序遍历是深度序列，所以一定是最左边的点，找到即可。

inline int findroot(int x)
{
	access(x);splay(x);
	while(t[x].son[0]) pushdown(x),x = t[x].son[0];
	splay(x);
	return x;
}

makeroot

让$x$变成所在子树的根。打通路径，$splayx$，这时$x$一定是中序遍历最靠后的一个，打个标记将树翻转即可。（这就是用$splay$的原因。）

inline void makeroot(int x)
{
	access(x);splay(x);rever(x);
}

link

连接$x,y$所在的两棵子树，让$x$变成所在子树的根。再将$y\to f{a}_x$即可。

inline void link(int x,int y)
{
	makeroot(x);
	if(findroot(y) == x) return;
	t[x].fa = y;
}

cut

切断$x,y$中间的边。还是将$x$变成根。这时若是$x,y$有边，$y$一定是$x$的右儿子。所以$y$的父亲设为$0$，$x$的右儿子设为$0$即可。

inline void cut(int x,int y)
{
	makeroot(x);
	if(findroot(y) != x || t[y].fa != x || t[y].son[0] != 0) return;
	t[y].fa = 0;t[x].son[1] = 0;
	update(x);
}

split

将$x,y$之间的路径单独提出来计算答案。将$x$设为根，打通$x,y$的路径，再将$ysplay$到根，$y$点的信息就是这个路径的信息。

inline void split(int x,int y)
{
	makeroot(x);access(y);splay(y);
}

综合下来，这道题就实现了。这只是LCT最基本的实现，更高级的应用还参考一些练习题。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3e5 + 5;
struct LCT{
	int fa,son[2],val,sum,tag;
}t[N];
inline int which(int x){return x == t[t[x].fa].son[1];}
inline void update(int x){t[x].sum = t[t[x].son[0]].sum ^ t[t[x].son[1]].sum ^ t[x].val;}
inline void rever(int x){if(!x) return; swap(t[x].son[0],t[x].son[1]);t[x].tag ^= 1;}
inline void pushdown(int x){if(t[x].tag) rever(t[x].son[0]),rever(t[x].son[1]); t[x].tag = 0;}
inline bool isroot(int x){return t[t[x].fa].son[0] != x && t[t[x].fa].son[1] != x;}
inline void rorate(int x)
{
	int dir = which(x),y = t[x].fa,z = t[y].fa;
	if(t[x].son[dir ^ 1]) t[t[x].son[dir ^ 1]].fa = y;
	t[y].son[dir] = t[x].son[dir ^ 1];
	t[x].fa = z;
	if(!isroot(y)) t[z].son[which(y)] = x;
	t[y].fa = x;
	t[x].son[dir ^ 1] = y;
	update(x);
	update(y);
	if(!isroot(y)) update(z);
}
inline void splay(int x)
{
	int st[N],top = 0,now = x;
	while(!isroot(now)) st[++top] = now,now = t[now].fa; st[++top] = now;
	while(top) pushdown(st[top]),top--;
	while(!isroot(x))
	{
		if(!isroot(t[x].fa))
			rorate((which(x) ^ which(t[x].fa)) ? x : t[x].fa);
		rorate(x);
	}
	update(x);
}
inline void access(int x)
{
	for(int rc = 0;x;rc = x,x = t[x].fa)
		splay(x),t[x].son[1] = rc,update(x);
}
inline int findroot(int x)
{
	access(x);splay(x);
	while(t[x].son[0]) pushdown(x),x = t[x].son[0];
	splay(x);
	return x;
}
inline void makeroot(int x)
{
	access(x);splay(x);rever(x);
}
inline void link(int x,int y)
{
	makeroot(x);
	if(findroot(y) == x) return;
	t[x].fa = y;
}
inline void cut(int x,int y)
{
	makeroot(x);
	if(findroot(y) != x || t[y].fa != x || t[y].son[0] != 0) return;
	t[y].fa = 0;t[x].son[1] = 0;
	update(x);
}
inline void split(int x,int y)
{
	makeroot(x);access(y);splay(y);
}
inline int query(int x,int y)
{
	split(x,y);return t[y].sum;
}
int main()
{
	int n,m,op,x,y;
	cin>>n>>m;
	for(int i = 1;i <= n;i++) cin>>t[i].val;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		cin>>op>>x>>y;
		if(op == 0) cout<<query(x,y)<<endl;
		else if(op == 1) link(x,y);
		else if(op == 2) cut(x,y);
		else if(op == 3) splay(x),t[x].val = y;
	}
	return 0;
}