【数据结构】动态树
【数据结构】动态树
动态树（Link-Cut Tree），是OI中一种高级的数据结构，用于维护一个动态森林上的链上问题。性价比较高。
题目描述
给定 \(n\) 个点以及每个点的权值，要你处理接下来的 \(m\) 个操作。
操作有四种，操作从 \(0\) 到 \(3\) 编号。点从 \(1\) 到 \(n\) 编号。
0 x y代表询问从 \(x\) 到 \(y\) 的路径上的点的权值的 \(\text{xor}\) 和。保证 \(x\) 到 \(y\) 是联通的。1 x y代表连接 \(x\) 到 \(y\)，若 \(x\) 到 \(y\) 已经联通则无需连接。2 x y代表删除边 \((x,y)\)，不保证边 \((x,y)\) 存在。3 x y代表将点 \(x\) 上的权值变成 \(y\)。
这是链上维护\(xor\)和问题。
我们用\(splay\)维护一棵子树上的一条链的信息，也就是说，LCT是由多个\(splay\)构成的，这个\(splay\)有一个性质，中序遍历恰好是这条链从浅到深的顺序。这样的结构叫做“实链剖分”。实边构成一条链。
接下来介绍一些核心操作：
access
将一个点与到它这颗子树的根的道路打通。我们沿着\(fa\)指针向上跳，将当前点\(splay\)上去，然后将它变成它父亲（如果有的话）的右儿子，因为它的深度比它的父亲低。
inline void access(int x)
{
for(int rc = 0;x;rc = x,x = t[x].fa)
splay(x),t[x].son[1] = rc,update(x);
}
findroot
找到\(x\)所在子树的根。我们首先打通\(x\)到根的路径，再将\(x\ splay\)上去，由于中序遍历是深度序列，所以一定是最左边的点，找到即可。
inline int findroot(int x)
{
access(x);splay(x);
while(t[x].son[0]) pushdown(x),x = t[x].son[0];
splay(x);
return x;
}
makeroot
让\(x\)变成所在子树的根。打通路径，\(splay\ x\)，这时\(x\)一定是中序遍历最靠后的一个，打个标记将树翻转即可。（这就是用\(splay\)的原因。）
inline void makeroot(int x)
{
access(x);splay(x);rever(x);
}
link
连接\(x,y\)所在的两棵子树，让\(x\)变成所在子树的根。再将\(y \to fa_x\)即可。
inline void link(int x,int y)
{
makeroot(x);
if(findroot(y) == x) return;
t[x].fa = y;
}
cut
切断\(x,y\)中间的边。还是将\(x\)变成根。这时若是\(x,y\)有边，\(y\)一定是\(x\)的右儿子。所以\(y\)的父亲设为\(0\)，\(x\)的右儿子设为\(0\)即可。
inline void cut(int x,int y)
{
makeroot(x);
if(findroot(y) != x || t[y].fa != x || t[y].son[0] != 0) return;
t[y].fa = 0;t[x].son[1] = 0;
update(x);
}
split
将\(x,y\)之间的路径单独提出来计算答案。将\(x\)设为根，打通\(x,y\)的路径，再将\(y\ splay\)到根，\(y\)点的信息就是这个路径的信息。
inline void split(int x,int y)
{
makeroot(x);access(y);splay(y);
}
综合下来，这道题就实现了。这只是LCT最基本的实现，更高级的应用还参考一些练习题。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3e5 + 5;
struct LCT{
int fa,son[2],val,sum,tag;
}t[N];
inline int which(int x){return x == t[t[x].fa].son[1];}
inline void update(int x){t[x].sum = t[t[x].son[0]].sum ^ t[t[x].son[1]].sum ^ t[x].val;}
inline void rever(int x){if(!x) return; swap(t[x].son[0],t[x].son[1]);t[x].tag ^= 1;}
inline void pushdown(int x){if(t[x].tag) rever(t[x].son[0]),rever(t[x].son[1]); t[x].tag = 0;}
inline bool isroot(int x){return t[t[x].fa].son[0] != x && t[t[x].fa].son[1] != x;}
inline void rorate(int x)
{
int dir = which(x),y = t[x].fa,z = t[y].fa;
if(t[x].son[dir ^ 1]) t[t[x].son[dir ^ 1]].fa = y;
t[y].son[dir] = t[x].son[dir ^ 1];
t[x].fa = z;
if(!isroot(y)) t[z].son[which(y)] = x;
t[y].fa = x;
t[x].son[dir ^ 1] = y;
update(x);
update(y);
if(!isroot(y)) update(z);
}
inline void splay(int x)
{
int st[N],top = 0,now = x;
while(!isroot(now)) st[++top] = now,now = t[now].fa; st[++top] = now;
while(top) pushdown(st[top]),top--;
while(!isroot(x))
{
if(!isroot(t[x].fa))
rorate((which(x) ^ which(t[x].fa)) ? x : t[x].fa);
rorate(x);
}
update(x);
}
inline void access(int x)
{
for(int rc = 0;x;rc = x,x = t[x].fa)
splay(x),t[x].son[1] = rc,update(x);
}
inline int findroot(int x)
{
access(x);splay(x);
while(t[x].son[0]) pushdown(x),x = t[x].son[0];
splay(x);
return x;
}
inline void makeroot(int x)
{
access(x);splay(x);rever(x);
}
inline void link(int x,int y)
{
makeroot(x);
if(findroot(y) == x) return;
t[x].fa = y;
}
inline void cut(int x,int y)
{
makeroot(x);
if(findroot(y) != x || t[y].fa != x || t[y].son[0] != 0) return;
t[y].fa = 0;t[x].son[1] = 0;
update(x);
}
inline void split(int x,int y)
{
makeroot(x);access(y);splay(y);
}
inline int query(int x,int y)
{
split(x,y);return t[y].sum;
}
int main()
{
int n,m,op,x,y;
cin>>n>>m;
for(int i = 1;i <= n;i++) cin>>t[i].val;
for(int i = 1;i <= m;i++)
{
cin>>op>>x>>y;
if(op == 0) cout<<query(x,y)<<endl;
else if(op == 1) link(x,y);
else if(op == 2) cut(x,y);
else if(op == 3) splay(x),t[x].val = y;
}
return 0;
}
